Applets : SC.ehu.es, FisLab.net
La velocidad horizontal no cambia (MU= movimiento uniforme) y la velocidad vertical es un MUA (mov. uniformemente acelerado) con la aceleración de la gravedad.
TOTES les equacions i gràfiques !!!
Eje X (movimiento uniforme, sin aceleración) :
Eje Y (movimiento uniformemente acelerado) :
Alcance (R) :
Tiempo de vuelo (T) : (disparo desde [0,0])
Altura máxima : Vy = 0 => t ( altura màxima ) = Voy / g
|
Condicions inicials :
Xo = 0, Yo = 0
Equacions :
Y = -g * t² /2
I en funció de l'alçada :
t = Sqr ( 2 * h / g )
|
|
(PAU junio 99)
De un grifo gotean, separadas una de otra, dos gotas de agua.
En un instante determinado, están separadas una distancia d.
Razona si, con el paso del tiempo, mientras caen,
esta distancia irá aumentando, menguando o permanecerá constante.
Solució :
L'equació bàsica que ferem servir és : V = g * t, on g = 9,8 m/sg².
És a dir, la velocitat d'una gota d'aigua creix linealment amb el temps.
Fem una taula amb les velocitats de les dues gotes d'aigua :
(T1 és el moment en que llencem la segona gota d'aigua)
| t | V1 | V2 | Vd = V1 - V2 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||
| 1 | g | ||
| 2 | 2*g | ||
| T1 | T1*g | 0 | T1*g |
| T1+1 | (T1+1)*g | g | (T1+1)*g - g = T1 * g |
| T1+2 | (T1+2)*g | 2*g | (T1+2)*g - 2*g = T1 * g |
En definitiva, Vd = V1 - V2 = T1 * g : la diferència de velocitats és constant.
Llavors, la distancia entre les dues gotes sera Xd = X1 - X2 = Vd * t,
creixent linealment.
1. Se lanza horizontalmente una bomba
con una velocidad de 450 m/s desde una altura de 500 m.
Calcular el tiempo que emplea para llegar al suelo,
la velocidad con la que cae
y la distancia horizontal a la que cae la bomba.
La velocidad vertical inicial es de 0 m/s, su única velocidad inicial es la de 450 m/s, que es horizontal y constante.
Alcance horizontal : L = 450 * t Para calcular el tiempo de vuelo, consideremos la fórmula : Y = Yo - Voy * t - 1/2 * g * t^2 Voy = 0, En el momento del impacto y = 0 por lo que 500 = 10 * t^2 / 2 t = 10 segundos (tiempo de vuelo) Como que x = 450 * t, entonces x(tiempo de vuelo) = 4500 metros (alcance horizontal) Calculemos la velocidad de caida. La velocidad horizontal de caida es : 450 m/s La vertical : Vy = Voy + g * t Como Voy = 0, entonces en el momento del impacto (t = 10) la velocidad es : Vy = 10 * 10 = 100 m/s La velocidad final sera : [450 i - 100j], en forma vectorial.
2. Un balon es golpeado con un ángulo de 35° respecto a la horizontal,
comunicándole una velocidad inicial de 18 m/s.
Determinar:
(a) el tiempo que permanece en el aire
(b) la altura máxima alcanzada
(c) el alcanze horizontal o distancia
Descomponiendo la velocidad :
Vox = 18 * cos(35) = 14,7 m/s Voy = 18 * sen(35) = 10,32 m/s En el eje horizontal : x = 14,7 * t Con la velocidad inicial vertical Voy = 10,32 m/s, calculemos la altura maxima y el tiempo de subida : Teniendo en cuenta que en su altura maxima, el proyectil tiene una velocidad vertical de 0 m/s, podemos obtener el tiempo de subida : Vy = Voy - g * t 0 = 10,32 - 10 * t t = 1,032 segundos (tiempo de subida) La altura máxima será : Y = Yo + Voy * t - g * t² / 2 Y(max) = 0 + 10,32 * 1,032 - 4,9 * (1,032)² = 10,65 - 5,22 Y(max) = 5,43 m El tiempo de vuelo lo podemos obtener observando que Y = 0 en ese momento 0 = 0 + 10,32 * t - g * t² / 2 t(vuelo) = 2 * 10,32 / 9,81 = 2,1 seg El alcance del proyectil : X(max) = 14,7 * 2,1 = 30.87 metros
3. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 4050 m/s.
Se desea que dé en un blanco
que se encuentra a 13.280 m.
Determinar:
(a) el angulo con el que debe ser lanzado el proyectil
(b) el tiempo que tardará en llegar al blanco
(c) la altura máxima alcanzada
Vamos a suponer que el blanco esta en la misma posición horizontal que el proyectil, es decir no está a ninguna altura respecto al proyectil.
13280 = 4050 * cos(theta) * T theta = angulo de lanzamiento T = tiempo total de vuelo En "y" : Vy = 4050 * sen(theta) Calculemos el tiempo de subida, considerando : Vfy = 0 m/s g = 10 m/s² Vfy = Voy - g * t t = 4050 * sen(theta) / 10 t = 405 * sen(theta) T = 2t = 810 * sen(theta) Reemplazando en : 13280 = 4050 * cos(theta) * T 13280 = 4050 * 810 * sen(theta) * cos(theta) recordar : 2 sen(theta) cos(theta) = sen(2theta) 13280 = 4050 * 405 * sen(2theta) theta = 0.23° 13280 = 4050 * cos(theta) * T T = 3.28 segundos
4. un atleta ejecuta un salto de longitud ; deja el suelo en un angulo de 30° y viaja 8.9 metros. Cual es su rapidez al despegar?
El alcance horizontal se calcula con la siguiente fórmula:
D = [ (Vo)² * (Sen 2a) ] / g en donde: D : alcance horizontal. (Vo)² : velocidad inicial al cuadrado. 2a : el ángulo doble de tiro. (60° en el ejercicio) g : aceleración de la gravedad. (9,8 m/s²) Reemplazando datos del ejercicio en la fórmula: 8,9 = [ (Vo)² Sen60° ] / 9,8 Calculando: (Vo)² = (8,9)(9,8) / Sen60° = (87,22) / (0,866) (Vo)² = 100,716 Vo = 10 m/s aprox.
5.-
(PAU juny 99)
Javier Sotomayor va saltar 2,45 metres d'alçada.
Determineu la velocitat amb que va saltar.
Sol.- Vo = 6,92 m/sg
t(altura maxima) = Voy / g y = Voy * ( Voy/g) - 1/2 * g * ( Voy/g ) ² y = Voy² / ( 2 * g ) Voy² = 2,45 * 19,6 = 48 Voy = 6,93 m/seg |
0 (vel at top) = Voy - 9,8 * t1 (flight time) Voy = 9,8 * t1 Sustituyendo en X(t) obtenemos t1 = SQR(2*h/9,8) y luego Vo = SQR(2*h*g) |
6.- Un avión en vuelo horizontal a una altura de 300 m y con una velocidad de 60 m/s, deja caer una bomba. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo, y el desplazamiento horizontal de la bomba.
Solució :
Y = Y0 - g * t ² / 2 0 = 300 - 4,9 * t ² t = 7,8 seg X = Vo * t = 60 * 7,8 = 469 m
7.- Se lanza un cuerpo desde el origen con velocidad horizontal de 40 m/s, y con una velocidad vertical hacia arriba de 60 m/s. Calcular la máxima altura y el alcance horizontal.
Vox = 40 m/sg, Voy = 60 m/sg.
Para calcular la altura máxima,
pensemos que ahí la velocidad vertical será 0.
Vy = Voy - g * t Vy = 60 - 9,8 * t si Vy=0 entonces 60 = 9,8 *t (alt.max) de donde t(alt max) = 60 / 9,8 = 6,1 sg
El recorrido vertical en este tiempo será :
Y = Yo + Voy*t - g * t² / 2 y(t alt-max) = 0 + 60 * 6,1 - 4,9 * 6,1² y(t alt-max) = 366 -183 = 183 metres
Para calcular el tiempo de vuelo, pensemos que en el momento del impacto en el suelo ( posición inicial en [0,0] ), tendremos que y=0
0 = 0 + Voy * t- g * t(vuelo)²/2 Voy= g * t(vuelo)/2 => t(vuelo)= 2 * Voy / g t(vuelo) = 2 * 60 / 9,8 = 12,2 sg
Por lo que el alcance será
X(t=t vuelo) = Vx * t(vuelo) = 40 * 12,2 = 488 m
8.- Resolver el ejercicio anterior, tomando como lugar de lanzamiento la cima de una colina de 50 m de altura.
9.- Se lanza un proyectil desde una colina de 300 m de altura, con una velocidad horizontal de 50 m/s, y una velocidad vertical de -10 m/s (hacia abajo). Calcular el alcance horizontal y la velocidad con que llega al suelo.
Calculem el temps de vol : t(final) es produeix quan y(final) = 0
0 = 300 - 10 * t(final) - 4,9 * t(final)² t(final) = 6,87 seg
La posició final serà x(final) = Vox * t(final) = 50 * 6,87 = 343,5 m
El vector velocitat en el moment del impacte serà
Vfx = Vox Vfx = 50 m/seg Vfy = Voy - g * t(final) Vfy = 10 + 9,8 * 6,87 = 77,326 m/seg
10.- Un cañón dispara una bala desde lo alto de un acantilado de 200 m de altura con una velocidad de 46 m/s haciendo un ángulo de 30° por encima de la horizontal. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo, y las componentes de la velocidad de la bala al nivel del mar. Hallar también la altura máxima. (Hallar primero, las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial).
z(inicial) = 0 i + 200 j ; v(inicial) = 39,8 i + 23 j ;
En el moment del impacte Y = 0
0 = 200 + 23 * t(vol) - 4,9 * t(vol)² t(vol) = 9,08 seg
Posició final : X(final) = Xo + 39,8 * 9,08 => X(final) = 361 m
Velocitat final : Vfy = 23 - 9,8 * 9,08 => Vfy = -66 m/s
11.- des del punt més alt d'un petit turó, de 60 m d'altura,
llancem horizontalment una pedra amb una velocitat de 20 m/s. Determina :
(a) quant de temps tarda en arribar al terra
(b) amb quina velocitat impacta al terra
i amb quin angle respecte l'horitzontal
(c) a quina distancia cau del punt de llançament
Sol.- (a) 3,50 seg, (b) 39,9 m/seg, alfa = 60°, (c) 70 m
Condicions inicials :
Xo = 0, Yo = 60 m Vox = 20 m/s, Voy = 0
Temps de vol :
0 = 60 + 0 * t - 4,9 * t(vol)² t(vol) = √ 60 / 4,9 => t(vol) = 3,45 seg
Velocitat final :
Vfx = 20 m/s Vfy = 9,8 * 3,45
Posició impacte :
Xf = 20 * 3,45 => Xf = 69 m Yf = 0
Vector posició final : z(final) = 69 i + 0 j
Vector velocitat final : V(final) = 20 i - 33,81 j
Modul velocitat final = √ 20&syp2; + 33,81²
Angle final : tg Alpha = 33,81 / 20 => Alfa = arctg (33,81/20) => Alfa = 59,4°
12.- una bola rodola sobre un tauler horitzontal de 2 m de altura
i cau a terra a una distància de 4,58 m
comptada des de la base del tauler.
Amb quina velocitat rodolava ?
Sol.- 7,2 [i] m/seg
El temps de vol és es calcula sabent que en el moment del impacte Y = 0
0 = Y0 - g * t² / 2 t(vol) = √ 2 * 2 / 9,81 = 0,64 seg
La velocitat inicial la determinarem pensant que en el moment del impacte ens trobem en el punt més llunyà :
x = Vox * t Xmax = Vox * t(vol) Vox = 4,58 / 0,64 = 7,17 m/seg
13.- Un bombarder vola a 120 m d'altura
amb una velocitat de 180 Km/h.
Quant de temps abans de trobar-se a la vertical del blanc
ha de deixar anar la bomba ?
A quina distància del blanc ho haurà de fer ?
Amb quina velocitat arribarà la bomba al terra ?
Sol.- (a) 15,65 seg (b) 782,5 m (c) 50 [i] + 153,4 [j] m/s
Primer convertim la velocitat a m/seg :
180 Km/h = 180 Km/h * 1000 m/Km * 1h/3600 seg = 50 m/seg [Vox]
El temps de vol és
t(vol) : 0 = Yo - g * t(vol)² / 2 => t(vol) = √ 2 * 120 / 9,81 = 4,94 seg *** error ***
Si el temps de vol es 15,65 segons, la alçada inicial ha de ser
Yo = g * t(vol)² / 2 = 9,81 * 15,65² / 2 = 1.200 m
14. Una pilota rellisca per una teulada que forma un angle de 30°
amb l'horitzontal i en arribar al seu extrem queda en llibertat
amb una velocitat de 10 m/s.
L'altura de l'edifici és de 60 m i l'amplada del carrer
al que desguassa la teulada de 30 m.
Calculeu
(a) les equacions de la pilota en moviment en quedar en llibertat
(b) arribarà directament a terra o xocarà amb la paret oposada ?
(c) el temps que triga en arribar a terra i la velocitat en aquest moment
(d) la posició en que es troba en relació a la teulada
quan la velocitat forma un angle de 45° amb l'horitzontal
Sol.- (b) no xoca (c) 3 seg ; 35,5 m/seg (d) [3,2i -2,52j] m
Xo = 0 Yo = 60 m Vox = 10 * cos 30° = 8,66 m/s Voy = 10 * sin 30° = 5 m/s [1] X = Xo + Vox * t [2] Vx = Vox [3] Y = Yo - Voy * t - g * t² / 2 [4] Vy = Voy + g * t En el moment del impacte, podem posar Y = 0 en [3] : 0 = 60 - 5 * t - 4,9 * t² t(vol) = 3,04 seg El punt de impacte té Y = 0 i ( posant T(vol) a [1] ) : X(final) = 8,66 * 3,04 => X(final) = 26,3 m La velocitat final serà Vfx = Vox = 8,66 m/s Vfy = 5 + 9,8 * t(vol) = 34,79 m/s Vf = [8,66 i + 34,79 j] Si el angle es 45°, llavors Vox = Voy, o sigui Vex = Vey = 8,66 m/seg En quin moment es produirà això ho podem saber posant Vey a [4] : 8,66 = 5 + 9,81 * Te => Te = 0,37 seg En aquest moment, el vector posició és : Xe = 8,66 * 0,37 = 3,23 m Xe = 3,23 m Ye = 60 - 5 * 0,37 - 4,9 * 0,37² Ye = 57,48 m
15. Un sòlid parteix del repòs del punt més alt
d'un pla inclinat d'1 m de longitud que forma un angle de 30°
amb l'horitzontal (sense tenir en compte el fregament).
En abandonar el pla inclinat es mou en caiguda lliure.
Calcular l'instant en que la seva velocitat forma un angle de 60°
amb l'horitzontal, a contar des del punt de sortida
Sol.- (a) 0,67 seg.
16. Es llença un projectil des del cim d'una muntanya de 200 m d'altitud
amb una velocitat de 50 m/seg i un angle d'inclinació de 45°.
Calcula :
(a) l'altura màxima que assoleix
(b) el vector posició en aquest moment
(c) la velocitat en el punt mes alt
(d) quina serà el vector posició en el moment d'impactar a terra
Sol.- (a) 263,8 m (c) 35,4 m/s (c) [386 i] m
17. Un futbolista pica una falta donant a la pilota una velocitat
que forma un angle de 20° amb l'horitzontal.
La pilota pica a terra a 40 m del punt de sortida.
Calcula la velocitat amb què la pilota ha sortit dels peus del jugador.
Sol.- 24,7 m/seg
Horitzontalment : 40 = 0 + Vox * t(vol) => 40 = t(vol) * ( Vo * cos 20 ) [1]
Verticalment, en el moment de la aterrada : 0 = Voy * t(vol) - 4,9 * t(vol)² => 0 = t * ( Voy - 4,9 * t ) => Voy - 4,9 * t(vol) = 0 [2]
Sistema de 2 equacions amb 2 incognites :
[1] 40 = t(vol) * Vo * cos 20 [2] 0 = Vo * sin 20 - 4,9 * t(vol) de [1] t = Vo * sin 20 / 4,9 substituint a [2] : Vo² = 40 * 4,9 / ( sin 20 * cos 20 ) Vo = 24,7 t(vol) = 1,72 seg
18. Un canó dispara un projectil amb un angle de 30° i
amb una velocitat inicial de 20 m/seg.
Suposant negligible la fricció amb l'aire, calcula :
(a) les equacions del vector velocitat i del vector posició
en funció del temps
(b) l'altura màxima i la llargada màxima
(c) els components de la velocitat al cap de 12 seg d'haver disparat
Sol.- (a) Ymax = 510 m, Xmax = 1767 m.
(b) [173,2 i -17,6 j] m/seg
Desglossem la velocitat :
Vox = Vo * cos(alfa) = 20 * cos(30°) = 20 * 0,86 = 17,32 m/seg Voy = Vo * sin(alfa) = 20 * sin(30°) = 20 * 0,50 = 10 m/seg t(vol) = 2 * Voy / g = 2 * 10 / 9,81 = 2,04 seg t (y max) = Voy / g = 10 / 9,81 = 1,02 seg x(max) = Vox * t(vol) = 17,32 * 2,04 = 35,33 *** error ***
19. Deixem anar un objecte des del terrat d'un edifici
i observem que xoca amb el terra al cap de 2,5 segons.
Calcular :
(a) Amb quina velocitat arriba a terra ?
(b) Quina és l'alçada del terrat?
Resultat : V(final) = -25 m/s, Yo = 31,25 m
y = 0 + 0 * 2,5 - 9,81 * 2,5² / 2 => y = -30,625 m Vfy = 9,81 * 2,5 => Vfy = 24,5 m/seg
20. De quina altura ha de caure un objecte
perquè arribi a terra amb una velocitat de 100 km/h ?
Resultat: 38,6 m
100 Km/h = 27,7 m/seg Vfy = 9,8 * t(final) = 27,7 m/seg => t(final) = 2,83 seg En el moment del impacte : 0 = Yo - 4,9 * 2,83² => Yo = 39,24 m
22. Un bombarder en picat baixa verticalment a 720 km/h
i deixa caure una bomba, que tarda 10 s en arribar a terra.
Calcula :
(a) Des de quina altura cau la bomba?
(b) Amb quina velocitat xocarà amb el terra?
Resultat: Yo = 2.500 m ; Vy(final) = 300 m/s
720 Km/h * 1h / 3600 seg * 1000 m / Km = 200 m/seg 0 = Yo - 200 * 10 - 4,9 * 100 => Yo = 2490 m Vy = 200 + 9,81 * 10 => Vy = 298 m/seg
23. (PAU juny 03)
Un coet és llançat verticalment cap amunt,
des del repòs,
i puja amb una acceleració constant de 14,7 m/s² durant 8 s.
En aquest moment se li acaba el combustible,
i el coet continua el seu moviment
de manera que l'única força
a què està sotmès és la gravetat.
(a) Calcula l'altura màxima a què arriba el coet.
(b) Calcula el temps transcorregut
des de la sortida fins a la tornada del coet a la superfície de la terra.
(c) Fes un gràfic velocitat - temps d'aquest moviment.
Considera g = 9,81 m/s².
Resultat: (a) 1175 m (b) 35,47 s
24. Un globus es troba a 80 m d'altura.
Quant temps tardarà en arribar a terra
un objecte que deixem anar des del globus si :
- a. el globus està parat.
- b. el globus baixa a 2 m/s.
- c. el globus puja a 2 m/s.
Solució : (a) 4 s, (b) 3,80 s, (c) 4,20 s
(a) 0 = 80 + 0 * t(fin) - 4,9 * t(fin)² => t(fin) = 4,04 seg
(b) 0 = 80 - 2 * t(fin) - 4,9 * t(fin)² => t(fin) = 3,84 seg
(c) 0 = 80 + 2 * t(fin) - 4,9 * t(fin)² => t(fin) = 4,25 seg
25. Un observador situat a 300 metres d'alçada
veu passar un objecte que cau a les 10 hores en punt.
Un altre de situat a 200 metres d'alçada el veu passar 2 segons mes tard.
Calcula :
(a) Des de quina altura cau el objecte ?
(b) Amb quina velocitat xocarà amb el terra?
Resultat: Yo = 382,4 m
Si el objecte cau des la posició (alçada) Yo : t2 = sqr ( Yo - 200 / 4,9 ) ; t1 = sqr ( Yo - 300 / 4,9 ) ; t2 - t1 = 2 Simplifiquem a = Yo - 200 (1) sqr ( a ) - sqr ( a - 100 ) = 2 * sqr ( 4,9 ) (2) sqr ( a ) + sqr ( a - 100 ) = b Si multipliquem (1) per (2) : a - ( a - 100 ) = b * 2 * sqr ( 4,9 ) => b = 100 / 2 * sqr ( 4,9 ) Ara fem (1) al quadrat : a + ( a - 100 ) - 2 * sqr ( a * ( a - 100 ) ) = 4 * 4,9 (2) al quadrat : a + ( a - 100 ) + 2 * sqr ( a * ( a - 100 ) ) = b² Sumem : 2a + 2a - 200 = b² + 4 * 4,9 => a = 182,45 => Yo = 382,35
Con la apreciada ayuda de Joaquín
Temps de vol :
Y = -g * t² /2 382,35 = 4,9 * t² t = sqr ( 382,35 / 4,9 ) = 8,83 seg
Velocitat final :
Vy = -g * t Vyf = 9,8 * 8,83 = 86,5 m/seg
26. En Joan és a una finestra que es troba a 4 m d'alçada, quan veu un lladre, a 8 metres sota la finestra. Amb quina velocitat li ha de llençar una pedra a 10 graus d'inclinació, si el lladre fuig a 20 Km/h, i te 1m70 d'alçada.
Solució : Anomenem "V1x" la velocitat amb que fuig el lladre, "tc" el moment del impacte, "d" la distancia entre la finsetra i el lladre, "h" la alçada de la finestra, "b" l'alçada del lladre i "a" el angle de sortida. Si el mòdul de la velocitat és Vo, doncs tenim que
Vox = Vo * cos a Voy = Vo * sin aLes formules de espai versus velocitat son :
v = e / t (1) e = v * t (2)Així, en el eix horitzontal podem dir que
d + V1x * tc = Vox * tc (3)de on podem aïllar tc :
tc = d / ( Vox - V1x ) (4)Per altre cantó, en el eix vertical podem dir :
h - b = Voy * tc (5)Substituint (4) dins (5), obtenim el resultat :
Vo = V1x / ( cos a - [ d / h ] * sin a )
