Updated 02/09/2005 (c)
| home / jordi / adria (navigation links) | Mémoires d'Hadrien |
Aquest es l'examen de selecitivitat de l'Estiu de 2005 :
Questions (1) Resoleu aquest sistema de equacions : z + y + z = 1 [a] 2x + 3y - 4z = 9 [b] x - y + z = -1 [c](2) a) Determineu la regió solució del sistema i el seu vèrtex : 3x + y >= 10 x - 3y <= 0 b) Calculeu el valor de la funció f(x,y) = x - 4y en el vèrtex i expliqueu raonadament si correspon a un extrem de f(x,y) i de quina classe és.(3) a) Calculeu els punts del gràfic de la corba y = x³ - 2 x² + x + 1 on la recta tangent té pendent -1/3. b) Determineu la recta tangent en aquests punts.(4) La funció f(x) = ( 90 x + 100 ) / ( x + 5 ) indica el nombre de minuts que s'aconsella de caminar diàriament en funció del nombre x de setmanes que han passat des que es va començar un programa de manteniment. a) Segons aquest programa de manteniment, a partir de quina setmana s'ha de caminar més d'una hora ? b) Feu un gràfic aproximat de la funció i expliqueu el seu creixement. Quant de temps aproximadament hauria de dedicar diàriament a caminar una persona que fa molt de temps que segueix el programa ?
Problemes (5) En una empresa es fabriquen dos tipus de peces que anomenarem A i B. Per fabricar una peça de tipus A es necessiten 2 Kg d'un metall, i per fer-ne una de tipus B, 4 Kg del mateix metall. L'empresa disposa com a màxim de 100 Kg de metall i no pot fabricar més de 40 peces de tipus A ni més de 20 de tipus B. a) Doneu un sistema d'inequacions que representi les restriccions en la fabricació que té l'empresa. b) Determineu gràficament els punts del pla que verifiquen aquest sistema. c) D'entre les solucions obtingudes, quins són els possibles valors de peces de cada tipus (han de ser enters) si es volen exhaurir els 100 Kg de metall ? Expliqueu detalladament què feu per trobar-los.(6) Una marca comercial utilitza tres ingredients A, B, C en l'elaboració de tres tipus de pizzes P1, P2 i P3. La pizza P1 s'elabora amb 1 unitat de A, 2 de B i 2 de C; la P2 s'elabora amb 2 unitats de A, 1 de B i 1 de C; i la P3 s'elabora amb 2 unitats de A, 1 de B i 2 de C. El preu de venda al públic és de 4,80 € per la P1, 4,10 € per a P2 i 4,90 € per a P3. Sabent que el marge comercial (benefici) és de 1,60 €, trobeu quan costa cada unitat de A, B i C a la marca comercial esmentada.
Heu de respondre 3 de les 4 questions i resoldre només un dels 2 problemes.
Puntuació :
Questions : 3 x 2 punts.
Problema : 4 punts.
Questió (1) De [a] es dedueix (despejant "z") que z = 1 - x - y [d] Substituint [d] dins [b] i [c] tenim : 2x + 3y - 4 ( 1 - x - y ) = 9 [b1] x - y + ( 1 - x - y ) = -1 [c1] Fent les operacions obtenim : 2x + 3y -4 + 4x + 4y = 9 [b2] x - y + 1 - x - y = -1 [c2] I operant de nou : 6x + 7y = 13 [e] 2y = 2 [f] De [f] obtenim y = 1 Substituint a [e] tenim x = 1 Posant aquestos valors dins [d] tenim z = -1Questió (2) La regió solució del sistema d’inequacions 3x+y≥103x+y≥10 i x−3y≤0x−3y≤0 és la zona del pla que compleix ambdues condicions, i el seu vèrtex es troba en la intersecció de les dues rectes, és a dir, al punt on l’equació 3x+y=103x+y=10 i x−3y=0x−3y=0. Trobar el vèrtex Resolent el sistema d'equacions: 3x+y=10 x−3y=0 ⇒ x=3y Substituïm x=3y a la primera: 3(3y)+y=10 → 9y+y=10 → 10y=10 → y=1 x=3⋅1=3 El vèrtex és el punt (3,1)Questió (3) La tangent es la derivada de y(x), on y(x) = x³ - 2 x² + x + 1 així que té per equació y'(x) = 3 x² - 4 x + 1 Els punts on val -1/3 es compleix 3 x² - 4 x + 1 = -1/3 => 3 x² - 4 x + 4/3 = 0 => 9 x² - 12 x + 4 = 0 Com que la solució a A x² + B x + C = 0 es x(1,2) = ( -b +- Sqr(b² - 4 a c) ) / 2a, llavors x(1,2) = 2/3 (solució única)Questió (4) Per saber a partir de quina setmana el programa recomana caminar més d'una hora diària, cal resoldre la desigualtat f(x)>60, ja que una hora són 60 minuts. Plantegem la desigualtat: ( 90x + 100 ) / ( x + 5 ) > 60 Solucio x > 200 / 30 = 20 / 3 ≈ 6.67 Resultat A partir de la setmana 7 (ja que x ha de ser nombre enter i ha de complir x > 6.67)Problema (5) Sigui x el nombre de peces A i y el nombre de peces B El sistema d'inequacions que representa aquestes restriccions és: 2x+4y≤100 (restriccioˊ de metall) x≤40 (maxim peces A) y≤20 (maxim peces B) x≥0,y≥0 (no es poden produir peces negatives) Per esgotar exactament els 100 kg de metall, la relació és: 2x+4y=100 Reorganitzant: x = ( 100 − 4y ) / 2 = 50 − 2y Els possibles valors enters són: com que x ha de ser enter i x≤40, diferents valors possibles de y (de 0 a 20) donen : (x,y) = (40,5), (38,6), (36,7), (34,8), (32,9), (30,10), (28,11), (26,12), (24,13), (22,14), (20,15), (18,16), (16,17), (14,18), (12,19), (10,20)Problema (6) [p1] 1 * A + 2 * B + 2 * C = 4,80 - 1,60 => 1 * A + 2 * B + 2 * C = 3,20 [p2] 2 * A + 1 * B + 1 * C = 4,10 - 1,60 => 2 * A + 1 * B + 1 * C = 2,50 [p3] 2 * A + 1 * B + 2 * C = 4,90 - 1,60 => 2 * A + 1 * B + 2 * C = 3,30 Restant [p3] de [p2] obtenim directament que C = 0,80 € Posant "C" a [p1] i [p2] (seria el mateix agafar [p3] en lloc de [p2]) surt : 1 * A + 2 * B + 2 * 0,80 = 3,20 2 * A + 1 * B + 1 * 0,80 = 2,50 Operant, queda : 1 * A + 2 * B = 1,60 [e1] 2 * A + 1 * B = 1,70 [e2] Si despejem "A" de "e1" surt A = 1,60 - 2 * B [e3] Ho posem a "e2" : 2 * ( 1,60 - 2 * B ) + 1 * B = 1,70 Operem 3,20 - 4 * B + 1 * B = 1,70 Despejem "B" : 3,20 - 1,70 = 3 * B => 1,50 = 3 * B => B = 0,50 € Posem "B" a "e3" i tenim A = 0,60 € Comprobació : posem els valors A, B i C en les equacions i operem : [p1] 1 * 0,60 + 2 * 0,50 + 2 * 0,80 = 0,60 + 1,00 + 1,60 = 3,20 [ok !] [p2] 2 * 0,60 + 1 * 0,50 + 1 * 0,80 = 1,20 + 0,50 + 0,80 = 2,50 [ok !!] [p3] 2 * 0,60 + 1 * 0,50 + 2 * 0,80 = 1,20 + 0,50 + 1,60 = 3,30 [ok !!!]
(1) x = 1, y = 1, z = -1 (2) el vèrtex és< el punt (3,1) (3) x = 2/3 (4) 7-a setmana (5) A = 0,60 €, B = 0,50 €, C = 0,80 €
|
|
|
|
Updated 02/09/2005 (c)
|
|
|
|