de Corrado Malanga i Luciano Pederzoli

[ En el text aquesta ortografia està reservada a l'anàlisi dimensional i comentaris relacionats ]

En la següent adoptem les següents convencions :

c = velocitat de la llum (del SI)     [ l t-1 ]
f = freqüència d'oscil·lació (del SI)     [ t-1 ]
T = 1/f = període d'oscil·lació (del SI)     [ t ]
e = càrrega electrica unitària (del sistema CGS)     [ ( l3 m t-2)1/2 ]
h = la constant de Planck (del SI)     [ l2 m t-1 ]

NB : Totes les ĉ utilitzades en el text són constants adimensionals, que no afecten el comportament qualitatiu de les fórmules, però només serveixen per tenir en compte les unitats de mesura adoptades.

Heisenberg, amb el seu principi d'indeterminació diu (del SI) que :

amb h = constant de Planck.

La indeterminació representa la incertesa ΔT*ΔE en la definició contemporània de l'energia que posseeix una partícula i l'instant de temps quan la posseeix. Tal principi estableix que, si es redueix a zero la incertesa temporal, l'altra incertesa es fa de magnitud infinita, pel que és impossible determinar l'energia de la partícula en l'instant triat.

Naturalment, el principi també permet fer una reversió de la situació, pel que és impossible determinar l'instant en què la partícula té aquesta energia exacta "prefixada".

La ΔT*ΔE ≥ h/(4*π) s'escriu sovint d'una altra manera :

amb x = posició, p = quantitat d'impuls (m*v) i ℏ = h/(2*π).

D'aquesta forma la indeterminació Δx*Δp representa la incertesa en la definició contemporània de la posició que una partícula té i de la quantitat de moviment (el producte de la massa per la velocitat de la partícula) que posseeix en aquesta posició.

En lloc que :

es podria escriure :

Expressió que implica la incertesa de la definició contemporània de la posició x de la massa m, i de la velocitat v de la partícula.

Observem que l'equació ΔT*ΔE = h/(4*π) és del tipus x*y = const., El que representa una hipèrbola equilàtera en un pla cartesià del qual T (temps) i E (Energia) són els eixos de coordenades. En conseqüència, es pot dir que el principi implica l'existència d'aquests eixos, tant és així que, en recórrer a ells, s'obté la seva representació gràfica senzilla, com a lloc geomètric de punts que estan més enllà d'una corba límit constituïda per la hipèrbola mateixa.

L'equació 3) posa en relleu, però, la importància de la posició (espai), de la massa i de la velocitat (espai / temps). Total : espai, temps i massa. Recordem, però, que la massa i l'energia, segons Einstein, són la mateixa cosa, de fet :

Considerant la 1) i 3) és segur assumir que els eixos de coordenades implicats no són només dos (Temps i Energia), sinó també hi ha un tercer, l'Espai.

Introduïm, per tant, la hipòtesi segons la qual el principi d'indeterminació de Heisenberg només representa la versió bidimensional d'un principi d'indeterminació més general (tridimensional) : en conseqüència, als eixos de coordenades T i E afegirem, en un sistema cartesià tridimensional, l'eix espacial S.

En lloc d'E, adoptarem per a l'energia, a partir d'ara, el símbol U, de manera que el principi d'indeterminació de Heisenberg es convertirà, en les dues formes examinades :

Dimensionalment : [ l2 m t-1 ].

En el nou sistema ortogonal de coordenades S, T i U sorgeixen, per tant, tres principis d'indeterminació PARTICULARS (bidimensionals), un per a cada parell d'eixos de coordenades (el primer és el clàssic principi d'indeterminació de Heisenberg).

Des del punt de vista dimensional són :

7) ΔU*ΔT = ΔEnergia*ΔTempo	[ l2 m t-2 ] [ t ] = [ l2 m t-1 ]	Heisemberg
8) ΔT*ΔS = ΔTiempo*ΔEspacio	[ t ] [ l ] = [ l t ]
9) ΔU*ΔS = ΔEnergía*ΔEspacio	[ l2 m t-2 ] [ l ] = [ l3 m t-2 ]

De les que es dedueix fàcilment ΔS , ΔT y ΔU , que, situant-se respectivament en els eixos S, T i U, no pot tenir altres dimensions que les d'un espai, un temps i una energia.

10) ΔU = Energia	[ l2 m t-2 ]
11) ΔT = Temps	[ t ]
12) ΔS = Espai	[ l ]

Però també es pot dir :

13) ΔU ≥ (h*frecuencia) = h*f     [ l2 m t-2 ] = [ l2 m t-1 ] [ t-1 ]

És a dir, la incertesa de l'Energia és proporcional a una freqüència (f).

Llavors, ¿per què ΔT no ha de ser proporcional (segons una constant que anomenarem ĉT) en un període (T) i ΔS (segons una constant que anomenarem ĉS ) i una longitud d'ona (λ)?

La longitud d'ona és la velocitat / freqüència i sembla bastant legítim adoptar, com a velocitat, c, és a dir, la de la llum.

Com a conseqüència : λ = c/f = c*f-1.

14) ΔT (periode) ≥ ĉT*T	= ĉT*f-1	[ t ]
15) ΔS (longitud d'ona) ≥ ĉS*λ	= ĉS*c* f-1	[ l ]

El 13) té les dimensions de la clàssica relació E = h*f, que expressa l'energia del fotó, però també [ l2 m t-2 ] = [ m ] [ l t-1 ]2 , amb les dimensions a la igualment nota E = m*c2, sent, de fet, [ l t-1 ] una velocitat (ver Demostració 1).

ΔS, ΔT i ΔU poden interpretar-se com LES TRES DIMENSIONS QUE DEFINEIXEN UNA PARTÍCULA AL DOMINI S-T-U (Espai-Temps-Energia), i es pot afirmar que :

ΔU és proporcional a una freqüència,
ΔT és proporcional a un període i
ΔS és proporcional a una longitud d'ona.

Fent el producte de les dimensions de ΔS, ΔT y ΔU s'obté :

16) ΔS*ΔT*ΔU     [ l ] [ t ] [ l2 m t-2 ] = [ l3 m t-1 ]

A partir de 10), 11) i 12) a fi de derivar les relacions, característiques del domini S-T-U :

17) ΔS/ΔT (velocitat)	[ l t-1 ]	= [ l t-1 ]
18) ΔU/ΔS (força)	[ l m t-2 ]	= [ l t-1 ] [ t-1 ] [ m ]
19) ΔU/ΔT (potència)	[ l2 m t-3	= [ l t-1 ]2 [ t-1 ] [ m ]

Si adoptem c (velocitat de la llum) en lloc de [ l t-1 ] y m*c2
en lugar de [ l2 m t-2 ], deriven :

20) ΔS/ΔT = c
21) ΔS/ΔU = m*c2/λ	= m*c2*f/c	= m*c*f
22) ΔU/ΔT = m*c2*f

Però analitzem novament les relacions 7), 8) i 9) des d'un punt de vista dimensional :

14) ΔU*ΔS	[ l3 m t-2 ]	= [ l t-1 ]3 [ t ] [ m ]
15) ΔU*ΔT	[ l2 m t-1 ]	= [ l t-1 ]2 [ t ] [ m ]
16) ΔT*ΔS	[ l t ]	= [ l t-1 ] [ t ] [ t ]

Es nota que ΔU*ΔS té la dimensió d'una CÀRREGA ELÈCTRICA AL QUADRAT (veure Nota), i després val ĉ 1*e2 , on ĉ1 representa una constant genèrica de proporcionalitat (triant adequadament la unitat de mesura, res prohibeix que sigui igual a 1).

ΔU*ΔT, però, com hem vist, té la dimensió de la constant de Planck (h).

Si, un cop més, en lloc de [ l t -1 ], s'assumeix el valor de c , com s'ha fet anteriorment, s'obté, sent e la càrrega de l'electró :

17) ΔU*ΔS ≥ ĉS*h*c	= ĉ1*e2
18) ΔU*ΔT ≥ ĉT*h	= ĉ1*ĉT*e2/(ĉS*c)	= ĉ2*e2*c-1
19) ΔT*ΔS ≥ c/f2	= ĉT*ĉS*c/f2	= ĉT*ĉ1*e2/(h*f2)	= ĉ3*e2*f-2*h-1

Els productes ΔU*ΔS, ΔU*ΔT, ΔT*ΔS , com dictamina el seu subíndex, relatius respectivament als "plans" U-S, U-T i T-S , i definir "superfícies" es pot equiparar amb aquests cercles, els radis valen :

20) ΔU*ΔS (àrea) ≥ ĉS*h*c = ĉ1*e2 (ràdio) ≥ h*(ĉS*c/π)1/2 = (ĉ1/π)1/2*e
21) ΔU*ΔT (àrea) ≥ ĉT*h = ĉ2*e2*c-1 (ràdio) ≥ h1/2*(ĉT/π)1/2 = (ĉ2/π)1/2*e/(c1/2)
22) ΔT*ΔS (àrea) ≥ c/f2 = ĉ3*e2*f-2*h-1 (ràdio) ≥ (1/f)*(c/π)1/2 = (ĉ3/π)1/2*(e/f)*h1/2

Si ΔU*ΔS és proporcional al quadrat de la càrrega elèctrica elemental, és probable que fins i tot ΔU*ΔT sigui proporcional al quadrat d'un altre paràmetre elemental ( magnètic? ), de valor igual a l'arrel de h (o de valor igual a la càrrega elèctrica elemental dividida per l'arrel de h), i que ΔT*ΔS sigui proporcional al quadrat d'un ulterior paràmetre elemental (gravitacional?), de valor igual a l'arrel de c dividit per f (o un valor igual a l'arrel de h multiplicat per la càrrega elèctrica elemental i dividit per f).

Com a resultat d'això, es pot definir EL PRINCIPI D'INDETERMINACIÓ GENERAL (tridimensional) :

23) ΔS*ΔT*ΔU ≥ ĉS*ĉT*h*c*f-1 = ĉ4*h*c*f-1 = (ĉ1*ĉ2*ĉ3*h*c/π3)1/2*(e3/f) = ĉ5*e3*f-1

El 23) és el producte de tres Δ , és a dir, una mena de "volum", que pot ser equiparat al d'una esfera i expressat a partir d'un oportú "ràdio" elevat a la tercera potència. Tal "ràdio" ΔSTU val :

Alternativament també val :

Sent ω (la pulsació o velocitat angular) igual a 2*p*f.

És important notar que :

ω ÉS UN PARÀMETRE CARACTERÍSTIC DE LA ROTACIÓ.
SEGONS EL PRINCIPI D'INDETERMINACIÓ GENERAL MP EL PROTOTIP DE LA INCERTESA DE LA LONGITUD, EL TEMPS I L'ENERGIA ÉS ALMENYS IGUAL A UNA CONSTANT DIVIDIDA PER UNA FREQÜÈNCIA.

Una partícula subjecta a aquest principi es comportaria pràcticament com una bola (amb dimensions que depenen de la freqüència) feta de goma molt prima i extremadament elàstica, plena d'aigua i suspesa a mitja alçada en una bassa d'aigua. Aixafant, la pilota es deforma i s'eixampla, més com més es comprimeix. A causa de la quantitat d'aigua continguda en ella és sempre la mateixa, el seu volum es manté constant, però la seva aparença pot canviar molt.

PERSPECTIVES

- Pel principi d'indeterminació de Heisenberg que ja ha demostrat la seva validesa al llarg de cada un dels tres eixos clàssics de l'Espai. Existeixen, de fet, tres components de l'Espai : Sx, Sy i Sz (normalment anomenats simplement : x, y, z), per a cadascuna de les quals val aquest principi. És, però, hipotizable que també per al Temps existeixin tres componetes : Tx, Ty, Tz. Per a l'energia existiran, en conseqüència, els altres tres components : Ux, Uy, Uz. En total nou components dimensionals : 3 per a l'Espai, 3 per al Temps i 3 per a l'Energia.

- Com que ω és un paràmetre característic de la rotació i 13), 14) i 15) apareixerà freqüència, període i longitud d'ona, es planteja expontáneamente la hipòtesi que F, T i λ puguin referir-se al mateix fenomen, esquematitzat amb una rotació a velocitat angular ω.

- Si la massa és proporcional a la freqüència, i hem de veure amb una rotació, es pot suposar que la massa és proporcional a la velocitat angular ω = 2*π*f i sigui una propietat estretament relacionada.

Demostració 1

Admetem que, per la mateixa partícula (FOTÓ), tots dos valors :

E = m*c2

E = h*f

Igualant-les, s'obté :

m*c2 = h*f

d'on s'obté :

m = (h/c2)*f     [ l2 m t-1 ] [ l t-1 ]-2 [ t-1 ] = [ m ]

Es dedueix que la massa del fotó és proporcional a la seva freqüència.

En efecte : f * 6,626 * 10-34 / 9 * 1016 = f * 0,7362 * 10-50 Kg (del SI)

Per exemple, a 1 GHz, la massa val 0,7362 * 10-41 Kg = 7,362 * 10-39 g (del CGS)

Nota

De fet, la llei de Coulomb, diu :

F = ĉ*(Q1*Q2)/r2

en la qual Q1 i Q2 són les càrregues elèctriques,

ĉ és una constant,

r és la distància que les separa, i

F la força amb què s'atrauen o es repel·leixen, depenent dels seus signes.

Suposant que les dues càrregues són iguals, es té :

F = Q2/r2

a partir del qual es pot derivar :

Q= (F*r2)1/2

o, sent F = m*a, també :

Q= (m*a*r2)1/2 ,

les dimensions són, de fet : [ l3 m t-2 ]1/2