2 ecuacions amb 2 incognites
Planteig :
A * x + B * y = C (1)
D * x + E * y = F (2)
Tenim 3 metodes per a resoldre-les :
- Substitucio
- Igualacio
- Reduccio
Substitució
de (1) : x = ( C - B * y ) / A (3)
Posem (3) a (2) : D * [ (C - B * y) / A ] + E * y = F
Operem : D * ( C - B * y ) + E * A * y = F * A
Operem : D * C - D * B * y + E * A * y = F * A (4)
Ajuntem : y * ( E * A - D * B ) = F * A - D * C
Alliberem "y" : y = ( F * A - D * C ) / ( E * A - D * B ) (5)
Igualació
de (1) : x = ( C - B * y ) / A (3)
de (2) : x = ( F - E * y ) / D (6)
Igualem (3) a (6) :
( C - B * y ) / A = ( F - E * y ) / D
Treiem denominadors : D * ( C - B * y ) = A * ( F - E * y )
Operem : D * C - D * B * y = A * F - A * E * y
Ja som a (4) !
Reducció
Multipliquem (1) per "D" :
A * D * x + B * D * y = C * D (7)
Multipliquem (2) per "A" :
A * D * x + A * E * y = A * F (8)
Restem (7) de (8) :
y * ( A * E - B * D ) = A * F - C * D
Si treiem "y", ja som a (5) !
Exercici
x + 20 = 3 * ( y - 20 ) (1)
x - 20 = y + 20 (2)
Fer per 8 vies :
- despejar "x" de (1) i Substituir a (2)
- despejar "y" de (1) i Substituir a (2)
- despejar "x" de (2) i Substituir a (1)
- despejar "y" de (2) i Substituir a (1)
- despejar "x" de (1) i de (2) i Igualar
- despejar "y" de (1) i de (2) i Igualar
- Reduir eliminant "x"
- Reduir eliminant "y"
Exercicis
(x + 1) + (y - 2) = 7
(x + 1) - (y - 2) = 5
Canvi de Variable : A = x + 1
B = y - 2
A + B = 7
A - B = 5
A = 6, B = 1
X = 5, Y = 3
(2)
En un dipòsit hi ha el doble de quantitat d'aigua que hi ha en un altre.
Si passem 10 L del dipòsit de menys capacitat a l'altre dipòsit,
aquest últim en tindrà cinc vegades més litres que el primer.
Quants litres d'aigua hi havia al principi en cada dipòsit?
X = 2 * Y /* X = gran, Y = petit */
X + 10 = 5 * ( Y - 10 )
======================
2 * Y + 10 = 5 * Y - 50
5 * y - 2 * y = 10 + 50
3 * Y = 60
Y = 20
X = 40
==================
Comprobació
40 = 2 * 20 ok
40 + 10 = 5 * ( 20 - 10 ) ok
(3)
El pes d'un pare és el quadrat del pes del seu fill petit.
Si tots dos pesessin 1 quilo menys, llavors el pes del pare seria vuit vegades el del fill.
Quant pesa cadascú ?
Y = X * X
Y - 1 = 8 ( X - 1 )
===================
X * X - 1 = 8 * X - 8
X * X - 1 - 8 * X + 8 = 0
X * X - 8 * X + 7 = 0
x (1,2) = 7 i 1.
==================
Comprobació
x = 7 => y = 49
48 = 8 * 6 ok
====================
x = 1 => y = 1
0 = 0 ok