Mates

Criteris de divisibilitat : 2 : la xifra de les unitats es parell. 3 : la suma de totes les seves xifres es multiple de 3. 5 : acaba en 0 o en 5. 4 : acaba en 00 o les 2 darreres xifres son multiples de 4. 9 : ho es la suma de les seves xifres. 10 : acaba en 0. 11 : la diferencia entre la suma de les xifres de lloc senar i la suma de les xifres de lloc parell es 0 o múltiple de 11. Nombres primers : { 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 } url MCD : es el mes gran de tots els divisors comuns a 2 nombres. Ej.- mcd(24,36) = 12. Es multiplquen els factors primers comuns a l'exponent mes petit. MCM = es el mes petit dels seus multiples comuns. Ej.- mcm(12,25) = 75. Es el producte dels factors primers elevats al exponent mes gran. Exercici- en una autopista hi ha un telefon cada 8 Km i un diposit d'aigua cada 14 Km. A l'entrada de l'autopista coincideixen un telefon i un diposit. A quin quilometre tornen a coincidir ?

*) fraccions equivalents : a/b = c/d <=> a.d = b.c *) comu denominador : a/b <> c/d => a*d/b*d <> c*b/b*d *) suma de fraccions : (a/b) +- (c/b) = (a +- c) / b *) multiplicacio : (a/b) * (c/d) = (a*c) / (b*d) *) divisio : (a/b) : (c/d) = (a*d) / (b*c) *) expresio decimal de una fraccio : 12/25 = 0,48 *) suma i resta amb decimals *) multiplicaio i divisio amb decimals Exercici- una aixeta omple un diposit en 3h, i un altre l'omple en 6h. Quant tardaran en omplir-lo totes dues aixetes alhora ? (Sol. = 2h)

Anomenem proporcio a la igualtat de dues raons : a/b = c/d Propietat : el producte dels extrems es igual al producte dels mitjans : a*d = b*c *) proporcionalitat directa : dues magnituts son directament proporcionals si en aumentar una, aumenta l'altre. *) proporcionalitat inversa : dues magnituts son inversament proporcionals si en aumentar una, l'altre disminueix. Exercici- un grup de 60 muntanyencs porten menjar per 15 dies. Troben una gent perduda i ara nomes els en tenen per 12 dies. Quantes persones s'han trobat ? Exercici- 6 paletes fan un xalet en 50 dies. Passats 10 dies un d'ells es posa malalt. Quants dies necessitaran, els 5 que queden, per acabar-lo ?

Tots els enters positius, els enters negatius i el 0 formen el conjunt dels nombres enters, que es designa amb la lletra "Z". El valor absolut d'un nombre entre es el nombre natural que s'obte en prescindir del signe. Suma de nombres enters : *) per sumar dos enters de signe igual, se sumen els seus valors absoluts i s'hi posa el signe dels sumands. Exemple : (+3) + (+6) = +9 Exemple : (-2) + (-6) = -8 *) per sumar dos nombres enters de signe diferent, es resten els seus valors absoluts i es posa el signe del sumand de valor absolut mes gran. Exemple : (+4) + (-3) = +1 Resta de nombres enters : Restar dos nombres equival a sumar al minuend l'oposat del substraend : a - b = a + ( -b ) Així tindrem : + (+a) = +a - (+a) = -a + (-a) = -a - (-a) = +a Producte de nombres enters. *) el producte es positiu si tots dos factors tenen el mateix signe. *) el producte es negatiu si els factors tenen signe diferent. Propietat commutativa : a * b = b * a Propietat associativa : a * ( b * c ) = a * b * c = ( a * b ) * c Quocient de nombres enters. *) el quocient es l'operacio inversa del producte : D : d = c <=> D = c * d Propietat distributiva (de la multiplicaion envers la suma) a * ( b +`c ) = a * b + a * c Exemple : suma de les arees de 2 rectangles, on "a" es el costat comu. Exemple : calcul mental - 5 * 21 = 5 * ( 20 + 1 ) = 100 + 5 Un altre : 3 * 99 = 3 * ( 100 - 1 ) = 300 - 3 Prioritats de les operacions : a) s'efectuen primer les operacion de dins els parentesis. b) despres venen els productes i les divisions c) finalment, es fan les sumes i les restes. Exercici : (+2) + (-4) * (+7)

1 dia = 24 hores 1 hora = 60 minuts 1 minut = 60 segons Aixi, 1 dia = 24 hores * 60 minuts/hora = 1.440 minuts = 1.440 min * 60 seg/min = 86.400 segons 1 decima de segon = 0,1 segon = 1/10 segon 1 centessima de segon = 0,01 seg = 1/100 seg 1 milesima de segon = 0,001 seg = 1/1000 seg Operacions amb temps : operar cadascuna de les unitats i fer-hi els canvis corrsponents. Angle : porcio del pla limitada per dues semirectes amb el mateix origen. Un angle es mesura en graus. Una circunferencia te 360 graus, i un angle recte en te 90. Per porcions mes petites es fan servir els minuts ( 1 grau = 60 minuts ) i els segons ( 1 minut = 60 segons ). Exercici : un diposit de 20.000 litres s'omple fent servir una aixeta que dona 40 litres per segon. Quant de temps tarda en omplir-se ? (Solucio : 500 seg) Exercici : la llum es propaga a 300.000 Km/seg. Si sabem que el Sol es troba a 150 milions de kilometres de la Terra, quant tarda en arribar la llum del Sol a la Terra ? Solucio : 8 minuts, 500 segons.

Una expressio algebraica es un conjunt de nombres i lletres relacionats per signes d'operacions aritmetiques. Exemple : "espai = velocitat * temps" Suma i resta de monomis (semblants) : es sumen o resten els coeficients. Exemple : 3 (a2b) + 2 (a2b) = 5 (a2b) Multiplicaio i divisio de monomis. El producte de dos monomis es un altre monomi que te per coeficient el producte dels coeficients i per part literal el producte de les parts literals. Igualtats notables. a) ( a + b ) ² = a² + 2ab + b² b) ( a - b ) ² = a² - 2ab + b² c) ( a + b ) * ( a - b ) = a² - b² Exercici : 103 * 97 = (100 + 3) * (100 - 3) = 10.000 - 9 Solucions d'una equacio (de grau 1) Exemple : 2 x + 5 = 11 => x = 3 Exercici : la suma de 2 nombres es 38 i la seva diferencia es 2. Quins son ? Solució (20,18). Exercici : en Carles te 4 anys mes que el seu germa. Dintre de 5 anys, la suma de les seves edats sera de 38. Quina edat te cadascun d'ells ? Solucio : G = 12, C = 16.

Les figures iguals tenen la mateixa forma i la mateixa mida. Les figures semblants tenen la mateixa forma i mida diferent. Encara que les mides dels costats siguin diferents, els quocients són sempre constants. Dues figures son semblants quan els seus angles són iguals i els quocients entre els costats són constants. Anomenem raó de semblança entre dues figures semblants el quocient entre les longituts de dos elements homòlegs qualsevol. Teorema de Tales : si tallem dues rectes per una sèrie de rectes paral.leles els segments deteminats en una de elles són proporcionals als segments determinats en l'altra. Una altra forma : la relació entre les longituts que dues paral.leles determinen en dues rectes és la mateixa. Aplicacions : divisió d'un segment en parts iguals o proporcionals. Escala = longitud en el dibuix / longitud en la realitat Relació entre les àrees : si tenim una representació a escala 1:a, la relació entre les seves àrees és 1:a² Relació entre els volums : si tenim una representació a escala 1:a, la relació entre els seus volums és 1:a³

La suma de la mesura dels angles interiors de un triangle es igual a 180° Àrea del triangle = base * altura / 2 Teorema de Pitàgores : en tot triangle rectangle el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets. a² = b² + c²

Una recta en l'espai queda determinada per : *) dos punts *) dos plans que es tallen La distància entre dos elements en l'espai es defineix com la més petita de totes les distàncies possibles entre un punt d'un dels elements i un punt de l'altre. Angle poliedre : es la porció de l'espai limitada per tres o més plans que es tallen en un punt.

Es denomina poliedre a la regió de l'espai limitada per polígons.

 

S'anomena funció a la relació entre dues magnituds de forma que a cada valor de la primera li correspon un valor i només un de la segona. Una relació de proporcionalitat directa s'expressa com a y = m * x ; on m es la constant de proporcionalitat. La variable x s'anomena independent, ja que pot prendre qualsevol valor. La variable y s'anomena dependent, perquè depèn del valor de x. Com més gran és la constant de proporcionalitat mes gran és la inclinació de la línia respecte del eix horitzontal. Si m és positiu, la recta és creixent. S'anomena funció afí a la funció d'expressió algebràica de la forma : y = m * x + b ; on m és el pendent i b és la ordenada en l'origen.