Progresiones aritméticas

Progresiones aritméticas

Teoria

Problemas propuestos

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Sea una sucesión cualquiera, formada por los elementos: 2, 5, 8, 11, ...

Cualquiera sería capaz de decirme, cual es el elemento siguiente. Seguro que me dirá que el número 14. Y el siguiente, el 17.

Vemos que si sumamos 3 al último número, encontramos el siguiente.

Lamamos a₁ al número 2, que es el primer término; a₂, al 5, que es el segundo término...

Si al segundo término le restamos el primero, encontramos el número 3 que es la clave para hallar los siguientes números.

Por lo tanto a₂ - a₁ = 3; a éste número le llamaremos diferencia. o tambien "d".

a₁	a₁= 2
a₂= a₁ + d	a₂= 2 + 3 = 5
a₃= a₂ + d = a₁ + d + d = a₁ + 2d	a₃= 2 + 2.3 = 2 + 6 = 8
a₄= a₁ + 3d	a₄ = 2 +3.3 = 2 + 9 = 11
a₅= a₁ + 4d
a₉= a₁ + 8d
a₁₅₇= a₁ + 156d
a_n= a₁ + (n-1)d

Esta fórmula es fundamental para hallar el último término de una progresión aritmética.

...oooOOOooo...
Vamos a averiguar otra fórmula fundamental: la de la suma.
Sean los elementos: 2, 5, 8, 11, 14; creo que la suma da 40. Por lo tanto podemos escribir:
40 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 o también
40 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2
---------------------------------------- Por lo tanto, si sumamos miembro a miembro, resulta:
80 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16
Oh! que casualidad, siempre grupos de 16. Precisamente 5 grupos. Tantos como términos.

Vamos a hacerlo con letras:

S = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an

S= an + an-1 + an-2 + ... + a3 + a2 + a1

----------------------------------------------------------

2S = (a1+an) + (a2+an-1) + (a3+ an-2)+...+(an-2+a3) + (an-1+a2) + (an+a1)

Como que hay n grupos iguales, resulta:

2S = (a1+an) * n

S = (a₁+a_n) * n / 2

...oooOOOooo...
Y no hay más teoría en las progresiones. Todo está aquí.

Falta hablar de la interpolación, pero si te fijas en la etimología de la palabra, observarás que si inter = entre y polar = polos, extremos, resulta que interpolar 5 términos, nos da una progresión con siete términos, los cinco más los dos extremos. Cuando tengamos que interpolar, será una progresión con dos términos más.

...oooOOOooo...

Comiezo

Problemas propuestos

							128	129	130
131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
141	142	143	144	145	146	147	148	149	150
151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
161	162	163	164	165	166	167	168	169	170
171	172	173	174	175	176	177	178	179	180
181	182	183	184	185	186	187	188	189	190
191	192	193	194	195	196	197	198	199	200
201	202	203	204	205	206

128. Conociendo el último término 199, de una progresión aritmética (p.a.), el número de ellos 100, y la suma de sus términos 10.000, calcular el primero y la razón.

129. Calcular la suma y el último término de una p.a. de razón 4, sabiendo que consta de 12 términos y el primero vale 7.

130. Calcular la suma y el número de términos de una p.a., cuyo primer término es 4, el último 40 y la razón 3.

131. Conociendo el primer término de una p.a. 3, el último 25 y el número de términos 12, determinar la razón y la suma.

132. Conociendo el primer término 3, el último 39 y la suma 210 de las términos de una p.a., calcular la razón y el número de términos.

133. Formar una p.a. de términos positivos de razón 2, el último 18 y 88 la suma de sus términos.

134. Determinar el número de términos de una p.a. y el último, sabiendo que el primero vale 3, la razón es 2 y la suma 120.

135. Cual será la profundidad de un pozo si por el primer metro se han pagado 760 duros y por cada uno de los restantes, 150 duros más que por el anterior. El pozo ha costado 43.700 duros.

136. Hallar el número de términos de una p.a. que tiene por primer término 7, por último 112 y por razón 3.

137. Hallar los cuatro ángulos de un cuadrilátero, sabiendo que forman p.a. de razón igual a 25º.

138. La suma de cierto cantidad de números impares consecutivos tomados a partir de 1, es 11.025. Calcular el último de los citados números impares.

139. Calcular la distancia que recorre un peón que arroja un cubo de agua en cada uno de los 30 árboles de un lado de la calzada, sabiendo que el primer árbol dista del pozo 10 m. y entre sí distan 6 m. y al final deja el cubo al lado del pozo.

140, Calcular la suma de todos los números que, teniendo tres cifras, son múltiplos de 7.

141. Cuántas campanadas da diariamente un reloj que suena solamente las horas.

142. Calcular el valor de cada uno de los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que están en p.a.

143. Los ángulos de un triángulo están en p.a., valiendo uno de ellos 100º. Hallar el valor de los demás.

144. Hallar la suma de los números pares que estan comprendidos entre 99 y 1001.

145. Hallar la suma de todos los números múltiplos de 4 comprendidos entre 122 y 1.418.

146. Hallar la suma de los cincuenta primeros números que son múltiplos de cinco.

147. Hallar la suma de los cincuenta primeros números que son múltiplos de siete.

148. Hallar la suma de los términos de la siguiente progresión: 5, 8, 11, 14, ... , 338.

149. Interpolar 10 elementos entre los números 3 y 25, para que formen progresión.

150. Interpolar 5 medios aritméticos entre los números 1/2 y 1 para que formen una progresión.

151. Interpolar 13 medios aritméticos entre 22a² y 8a² para que formen progresión.

152. Interpolar cinco medios aritméticos entre el octavo y el noveno término de la p.a., cuyo primer término es 1/2 y el segundo 7/12.

153. Hallar el número de bolas que contiene una pila triangular completa, teniendo sobre cada lado 20 bolas.

154. Hallar el número de bolas que contiene una pila triangular cuya base inferior tiene 25 bolas y la superior 13 bolas.

155. Un coronel que manda 2.485 soldados los quiere formar en triángulo, de tal forma, que la primera fila tenga un soldado, la segunda 2, la tercera 3, y así sucesivamente. Cuántas filas podrá formar ?

156. Un hexágono tiene un ángulo recto y los restantes, a partir de él, están en p.a. Hallar el valor de cada uno de ellos.

157. Un coronel coloca un soldado en la primera fila, 3 en la segunda, 5 en la tercera, etc., hasta colocar 1024 soldados. Se desea saber: a) Cuántos soldados tiene la fila 10. b) Cuántas filas hay. c) Qué superficie hubiera ocupado si los hubiera dispuesto en filas y columnas de igual número de soldados, distantes entre sí un metro.

158. Calcular la suma de los múltiplos de 5 comprendidos entre 1243 y 4728.

159. Encontrar tres números en p.a. de razón 5 sabiendo que el término central es igual a la media geométrica de los extremos mas uno.

160. En un parque hay 50 filas de árboles y se sabe que la diferencia entre el número de árboles de una fila y el del anterior es constante y además que en la fila ocho hay 41 y en la quince 62. Hallar; 1º) La diferencia entre le número de árboles de dos filas consecutivas; 2º) Valor de la plantación si cada árbol vale 100 pesetas.

161. Formar una p.a. de 6 términos, sabiendo que su suma es 69 y la diferencia entre los extremos es 15.

162. La suma de los once términos de una p.a. es 220. Sabiendo que la diferencia entre el último y el primero es 30, formar la progresión.

163. La suma de 10 términos de una p.a. es 205. La diferencia entre el último y el primero es 27. Formar la progresión.

164. En una p.a. de once términos, la suma de éstos es 176, y la diferencia entre el último y el primero es 30. Formar la progresión.

165. En una p.a. creciente la diferencia entre el último y el primer término es 20. La razón es igual al número de términos y la suma de éstos es 65. Hallarla.

166. El segundo y el noveno término de una p.a. suman 29 y el tercero con el duodécimo suman 41. Calcular los cuatro términos.

167. Una p.a. de doce términos es tal que la suma de sus once primeros términos es 253. Sabiendo que la semidiferencia entre dos términos consecutivos es 2, hallar el último termino.

168. La razón de una p.a. aritmética creciente es 2 y 11 el número de términos. Averiguar el primer término y la suma de los 11, sabiendo que el último termino es igual al cuadrado del primero.

169. Los tres lados de un triángulo rectángulo están en p.a. de razón 3. Hallarlos.

170. Los lados de un triángulo rectángulo están en p.a. de razón 2, calcula las medidas.

171. La suma de los 5 primeros términos de una p.a. es 75 y la suma de los 7 primeros es 129'5. Calcular el primer término y la razón.

172. Los tres primeros términos de una p.a. son 12, 16 y 20. Calcular el número de términos que hay que añadirle para que la suma total sea 300.

173. La suma de los 12 primeros términos de una p.a. es 157'8 y el cuarto término es 8'9. Calcular el séptimo y el onceavo.

174. La suma de los términos de una p.a. de términos positivos es 199'5, el último término es 24 y la diferencia entre dos términos consecutivos es 1'5. Calcular el número de términos y el primero.

175. Tres números en p.a. creciente tienen por producto 45 y el más pequeño es 1. Cuáles son los otros dos ?

176. La suma de tres números en p.a. es 21 y el producto 280. Formarla.

177. Hallar tres números en p.a. siendo su suma 33 y su producto 1287.

178. Hallar un número de tres cifras que, dividido por la suma de las mismas, dé 15; las cifras están en p.a. y sumando al número 396 se obtiene el número invertido.

179. El volumen de un paralelepípedo es 1.232 cm3. Calcular sus aristas, sabiendo que están formadas por tres números en p.a. de razón 3.

180. Las tres aristas de un ortoedro que concurren en un mismo vértice tienen longitudes en p.a. cuya suma es 78 metros. El volumen del ortoedro es 16.640 m3. Hallar las longitudes de las aristas.

181. En un paralelepípedo rectángulo las tres dimensiones están en p.a. y su suma vale 24 metros. Sabiendo que el área total mide 366 m2, calcular: a) sus dimensiones, y b) su volumen.

182. Dado un ortoedro cuyas dimensiones son tres números naturales en p.a. de razón 2, determinar su volumen, sabiendo que su área total mide 142 m2.

183. Encontrar tres enteros en p.a. creciente, sabiendo que su suma vale 15 y la suma de sus cuadrados 107.

184. Hallar tres enteros en p.a. creciente, sabiendo que su suma es 12 y la suma de sus cuadrados 56.

185. Encontrar cuatro números en p.a. creciente, sabiendo que su suma es 92 y la suma de sus cuadrados es 2.136.

186. La suma de los cuatro términos de una p.a. es 2, y la suma de sus cuadrados es 46. Averiguar la progresión.

187. Calcular los 10 términos de una p.a., sabiendo que la suma de los seis términos centrales es 93 y el producto de sus extremos es 58.

188. La suma de los seis términos centrales de una p.a. creciente de 16 términos es 141, y el producto de sus extremos es 46. Escribir la progresión.

189. La suma de los cuatro términos centrales de una p.a. creciente de ocho términos es 70 y el producto del primero por el último 196. Formar la progresión

190. La suma de 5 números en p.a. es 45 y la suma de sus inversos 137/180. Formar la progresión.

191. En una p.a. la razón y el número de términos son iguales. La suma de los términos es 120 y la diferencia de los extremos es 20. Construir la progresión.

192. Una p.a. tiene un número impar de términos. El central vale 44 y el producto de los extremos 336. Calcular los extremos.

193. Un número compuesto de tres cifras es igual a 26 veces la suma de sus cifras; éstas están en p.a.; y si al número dado se le suman 396, resulta el mismo número invertido: Cuál es el número ?.

194. Si a, b y c están en p.a., los A= a²+ b²+ ab, B= a²+ c² + ac, C= b²+c²+bc están también en p.a. Comprobarlo.

195. Hallar la suma de los n primeros números impares.

196. Hallar la suma de los n primeros números pares.

197. Hallar la suma de los n primeros múltiplos de 3.

198. Calcular cuatro enteros en p.a. conocida su suma 26 y el producto del segundo término por el cuarto 55.

199. El n término de una p.a. es (3n - 1)/6: Hallar el primer término, la razón y la suma de n términos.

200. Hallar la suma de los p primeros números positivos de la forma 4p + 1.

201. La suma de n términos de una p.a. es n (3n + 2): hallar el octavo término.

202. En una p.a. am = m y an = m, calcula ap en función de m, n y p.

203. Hallar el primer término y la razón de una p.a. sabiendo que la suma de los n primeros términos es igual al cuádruplo de n2, para cualquier valor de n.

204. Encontrar una p.a. tal que la suma de n términos sea igual a 5n2, para todos los valores de n.

205. Hallar la p.a. en la que la suma de sus n primeros términos es n2/2, para todos los valores de n.

206. Hallar una p.a. tal que la suma de sus n primeros términos sea igual a n ( 3n + 1), para todos lo valores de n.

Comiezo

128. Conociendo el último término 199, de una progresión aritmética (p.a.), el número de ellos 100, y la suma de sus términos 10.000, calcular el primero y la razón.

an = 199; n = 100; S = 10.000; a1 = ?; d = ?

10.000 = (a1 + 199) * 100 / 2

20.000 = (a1 + 199) * 100

200 = a1 + 199; a1 = 1

199=1+(100-1)*d.....198=99*d.....d=2

a1 = 1 y d = 2
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129. Calcular la suma y el último término de una p.a. de razón 4, sabiendo que consta de 12 términos y el primero vale 7.

S = ?; an = ?; d = 4; n = 12; a1 = 7

an = 7 + (12 - 1) * 4

an = 7 + 11 * 4; an = 51

S = (7 + 51) * 12 / 2

S = 58 * 6; S = 348

S = 348 y an = 51
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130. Calcular la suma y el número de términos de una p.a., cuyo primer término es 4, el último 40 y la razón 3.

S = ?; n = ?; a1 = 4; an = 40; d = 3

40 = 4 + (n - 1) * 3; 40 - 4 = (n - 1) * 3; 36 = (n - 1) * 3; 12 = n - 1 ; n = 13

S = (4 + 40) * 13 / 2

S = 44 * 13 / 2; S = 22 * 13; S = 286

S = 286 y n = 13
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131. Conociendo el primer término de una p.a. 3, el último 25 y el número de términos 12, determinar la razón y la suma.

a1 = 3; an = 25; n = 12; d = ?; S = ?

25 = 3 + (12 - 1) * d; 25 - 3 = 11 * d; 22 = 11 * d; d = 2

S = (3 + 25) * 12 / 2

S = 28 * 12 / 2; S = 14 * 12; S = 168

S = 168 y d = 2
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132. Conociendo el primer término 3, el último 39 y la suma 210 de las términos de una p.a., calcular la razón y el número de términos.

a1 = 3; an = 39; S = 210; d = ?; n = ?

210 = (3 + 39) * n / 2; 210 = 42 * n / 2;

210 = 21 * n; n = 10

39 = 3 + (10 - 1) * d; 39 - 3 = 9 * d; 36 = 9 * d; d = 4

n = 10 y d = 4
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133. Formar una p.a. de términos positivos de razón 2, el último 18 y 88 la suma de sus términos.

d = 2; an = 18; S = 88

18 = a1 + (n - 1) * 2 ; 18 = a1 + 2n - 2; 20 = a1 + 2n; a1 = 20 - 2n

88 = (a1 + 18) * n / 2; 176 = ( a1 + 18) * n

176 = (20 - 2n + 18)*n; 176 = (38 - 2n) * n; 2n² - 38n + 176 = 0; n² - 19n + 88 = 0

Resolviendo le ecuación de segundo grado hallamos los valores de n; n = 11; n = 8

Para n = 11; a1 = 20 - 2n; a1 = 20 - 22; a1 = - 2; No cumple el enunciado

Para n = 8; a1 = 20 - 2n; a1 = 20 - 16; a1 = 4

4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
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134. Determinar el número de términos de una p.a. y el último, sabiendo que el primero vale 3, la razón es 2 y la suma 120.

n = ?; an = ?; a1 = 3; d = 2; S = 120

an = 3 + (n - 1) * 2 ; an = 3 + 2n - 2; an = 1 + 2n;

120 = (3 + an) * n / 2; 240 = ( 3 + 1 + 2n) * n; 240 = 4n + 2n²; n² + 2n - 120 = 0

Resolviendo le ecuación de segundo grado hallamos los valores de n; n = 10;

Para n = 10; an = 1 + 2n; an = 1 + 20; an = 21

n = 10; an = 21
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135. Cual será la profundidad de un pozo si por el primer metro se han pagado 760 duros y por cada uno de los restantes, 150 duros más que por el anterior. El pozo ha costado 43.700 duros.

n = ?; a1 = 760; d = 150; S = 43.700

an = 760 + (n - 1) * 150 ; an = 760 + 150n - 150; an = 610 + 150n;

43700 = (760 + an) * n / 2; 87400 = ( 760 + 610 + 150n) * n;

87400 = 1370n + 150n²; 15n² + 137n - 8740 = 0

Resolviendo le ecuación de segundo grado hallamos los valores de n; n = 20;

n = 20
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136. Hallar el número de términos de una p.a. que tiene por primer término 7, por último 112 y por razón 3.

n = ?; a1 = 7; an = 112; d = 3

112 = 7 + (n - 1) * 3

112 = 7 + 3n - 3

112 = 4 + 3n

3n = 108; n = 36

n = 36
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137. Hallar los cuatro ángulos de un cuadrilátero, sabiendo que forman p.a. de razón igual a 25º.

n = 4; d = 25; S = 360º

360 = (a1 + an) * 4 / 2; 360 = (a1 + an) * 2;

180 = a1 + an; an = 180 - a1

an = a1 + (n - 1) * d; 180 - a1 = a1 + 3 * 25;

180 = 2a1 + 75;

2a1 = 105; a1 = 52'5;

52º 30'; 77º 30'; 102º 30'; 127º 30'
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138. La suma de cierto cantidad de números impares consecutivos tomados a partir de 1, es 11.025. Calcular el último de los citados números impares.

a1 = 1; d = 2; S = 11.025; an = ?

an = 1 + (n - 1) * 2; an = 1 + 2n - 2; an = 2n - 1

11.025 = (1 + an) * n / 2; 22.050 = (1 + 2n - 1) * n;

22.050 = 2n²; n² = 11.025; n = 105

an = 2n - 1; an = 210 - 1; an = 209

an = 209
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139. Calcular la distancia que recorre un peón que arroja un cubo de agua en cada uno de los 30 árboles de un lado de la calzada, sabiendo que el primer árbol dista del pozo 10 m. y entre sí distan 6 m. y al final deja el cubo al lado del pozo.

a1 = 20 por ser ida y vuelta;

n = 30; S = ?; d = 12

an = 20 + (30 - 1) * 12; an = 20 + 29 * 12;

an = 20 + 348; an = 368

S = (20 + 368) * 30 / 2; S = 388 * 15;

S = 5820
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140, Calcular la suma de todos aquellos números que, teniendo tres cifras, son múltiplos de 7.

debemos buscar el primer número de tres cifras que sea divisible por 7, da 105

y luego debemos buscar el número más grande de tres cifras que sea divisible por 7, veremos que da 994

a1 = 105; an = 994; d = 7

994 = 105 + (n - 1) * 7; 994 - 105 = (n - 1) * 7; 889 / 7 = n - 1; n = 128

S = (105 + 994) * 128 / 2; S = 1099 * 64;

S = 70.336
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141. Cuántas campanadas da diariamente un reloj que suena solamente las horas.

Calcularemos primero las campanadas que da un reloj en medio día, y luego lo multiplicaremos por dos.

a1 = 1; an = 12; d = 1; n = 12; S = ?

S = (1 + 12) * 12 / 2;

S = 13 * 6;

S = 78 campanadas en doce horas

S = 156 campanadas
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142. Calcular el valor de cada uno de los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que están en p.a.

Deberemos recordar que la suma de los tres ángulos de un triángulo cualquiera vale 180 grados, y que por ser rectángulo, hay un ángulo que vale 90 grados, el mayor

an = 90; n = 3; S = 180

180 = (a1 + 90) * 3 / 2;

360 = (a1 + 90) * 3; 120 = a1 + 90; a1 = 30

an = a1 + (n- 1) * d; 90 - 30 = 2d; 60 = 2d; d = 30

30, 60 y 90
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143. Los ángulos de un triángulo están en p.a., valiendo uno de ellos 100º. Hallar el valor de los demás.

Deberemos recordar que la suma de los tres ángulos de un triángulo cualquiera vale 180 grados, y que hay un ángulo que vale 100 grados, el mayor

an = 100; n = 3; S = 180

180 = (a1 + 100) * 3 / 2;

360 = (a1 + 100) * 3; 120 = a1 + 100; a1 = 20

an = a1 + (n - 1) * d; 100 - 20 = 2d; 80 = 2d; d = 40

20, 60
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144. Hallar la suma de los números pares que estan comprendidos entre 99 y 1001.

Deberemos recordar que los números pares: 2, 4, 6, 8, ... aumentan de dos en dos, por lo tanto la diferencia entre dos números consecutivos es dos. a1 = 100; an = 1000; d = 2; S = ?

an = a1 + (n - 1) * d; 1000 = 100 + (n - 1) * 2;

900 = (n - 1) * 2; 450 = n - 1; n = 451

S = (100 + 1000) * 451 / 2;

S = 1100 * 451 / 2; S = 550 * 451;

248.050
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145. Hallar la suma de todos los múltiplos de 4 comprendidos entre 122 y 1.418.

Deberemos recordar que los múltiplos de 4 aumentan de 4 en 4, por lo tanto la diferencia entre dos números consecutivos es cuatro. a1 = 124; an = 1416; d = 4; S = ?

an = a1 + (n - 1) * d; 1416 = 124 + (n - 1) * 4;

1292 = (n - 1) * 4; 323 = n - 1; n = 324

S = (124 + 1416) * 324 / 2;

S = 1540 * 324 / 2; S = 1540 * 162;

249.480
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146. Hallar la suma de los cincuenta primeros números que son múltiplos de cinco.

Deberemos recordar que los múltiplos de 5 aumentan de 5 en 5, por lo tanto la diferencia entre dos números consecutivos es cinco. a1 = 5; an = ?; d = 5; S = ?; n = 50

an = a1 + (n - 1) * d; an = 5 + (50 - 1) * 5;

an = 5 + 49 * 5; an = 250

S = (5 + 250) * 50 / 2;

S = 255 * 25;

6375
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147. Hallar la suma de los cincuenta primeros números que son múltiplos de siete.

Deberemos recordar que los múltiplos de 7 aumentan de 7 en 7, por lo tanto la diferencia entre dos números consecutivos es siete. a1 = 7; an = ?; d = 7; S = ?; n = 50

an = a1 + (n - 1) * d; an = 7 + (50 - 1) * 7;

an = 7 + 49 * 7; an = 350

S = (7 + 350) * 50 / 2;

S = 357 * 25;

8.925
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148. Hallar la suma de los términos de la siguiente progresión aritmética: 5, 8, 11, 14, ... , 338.

a1 = 5; an = 338; d = 3; S = ?;

an = a1 + (n - 1) * d; 338 = 5 + (n - 1) * 3;

333 = (n - 1) * 3;

111 = n - 1; n = 112

S = (5 + 338) * 112 / 2;

S = 343 * 56;

18.208
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149. Interpolar 10 elementos entre los números 3 y 25, para que formen progresión aritmética.

Debemos recordar que interpolar, quiere decir meter entre los extremos, por lo tanto la progresión tendrá 12 términos

a1 = 3; an = 25; n = 12; d = ?;

an = a1 + (n - 1) * d; 25 = 3 + (12 - 1) * d;

22 = 11 * d;

d = 2

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25
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150. Interpolar 5 medios aritméticos entre los números 1/2 y 1 para que formen una progresión.

Debemos recordar que interpolar, quiere decir meter entre los extremos, por lo tanto la progresión tendrá 7 términos

a1 = 1/2; an = 1; n = 7; d = ?;

an = a1 + (n - 1) * d; 1 = 1/2 + (7 - 1) * d;

1/2 = 6 * d;

d = 1/12

1/2 = 6/12, 7/12, 8/12, 9/12, 10/12, 11/12, 12/12 = 1
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151. Interpolar 13 medios aritméticos entre 22a² y 8a² para que formen progresión.

Debemos recordar que interpolar, quiere decir meter entre los extremos, por lo tanto la progresión tendrá 15 términos

a1 = 22a²; an = 8a²; n = 15; d = ?;

an = a1 + (n - 1) * d; 8a² = 22a² + (15 - 1) * d;

- 14a² = 14 * d;

d = - a²

22a², 21a², 20a²; 19a²; ...; 8a²
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152. Interpolar cinco medios aritméticos entre el octavo y el noveno término de la p.a., cuyo primer término es 1/2 y el segundo 7/12.

Debemos recordar que interpolar, quiere decir meter entre los extremos, por lo tanto la progresión tendrá 7 términos

a1 = 1/2; a2 = 7/12; d = 1/12; a8 = ?; y a9 = ?

an = a1 + (n - 1) * d; a8 = 1/2 + (8 - 1) * 1/12; a8 = 1/2 + 7/12; a8 = 13/12; a9 = 14/12

La nueva progresión tendrá como elementos: a1 = 13/12; an = 14/12; n = 7

14/12 = 13/12 + (7 - 1) * d; 1 / 12 = 6d; d = 1/ 72

13 / 12 = 78 /72, 79 / 72, 80 / 72, 81 /72, 82 /72, 83 /72, 84 /72 = 14 / 12
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153. Hallar el número de bolas que contiene una pila triangular completa, teniendo sobre cada lado 20 bolas.

Imaginemos un triángulo equilátero, que en la base tiene 20 bolas y en el vértice superior, tiene una sola bola,

a1 = 1; an = 20; d = 1; S = ?;

an = a1 + (n - 1) * d; 20 = 1 + (n - 1) * 1; 19 = n - 1; n = 20

S = ( 1 + 20 ) * 20 / 2;

S = 21 * 10

210
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154. Hallar el número de bolas que contiene una pila triangular cuya base inferior tiene 25 bolas y la superior 13 bolas.

Imaginemos un trapecio isósceles, que en la base tiene 25 bolas y en el lado superior tiene 13 bolas,

a1 = 13; an = 25; d = 1; S = ?;

an = a1 + (n - 1) * d; 25 = 13 + (n - 1) * 1; 12 = n - 1; n = 13

S = ( 13 + 25 ) * 13 / 2;

S = 19 * 13

247
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155. Un coronel que manda 2.485 soldados los quiere formar en triángulo, de tal forma, que la primera fila tenga un soldado, la segunda 2, la tercera 3, y así sucesivamente. Cuántas filas podrá formar ?

a1 = 1; an = ?; d = 1; S = ?;

an = a1 + (n - 1) * d; an = 1 + (n - 1) * 1; an = n

2485 = ( 1 + n ) * n / 2; 4970 = n + n²;

n² + n - 4970 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado, encontramos que n vale

70
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156. Un hexágono tiene un ángulo recto y los restantes, a partir de él, están en p.a. Hallar el valor de cada uno de ellos.

a1 = 90; n = 6; Pero podemos saber cuánto vale la suma de todos los ángulos de un exágono. Para ello dibujamos un exágono regular, lo descomponemos en 6 triángulos, formados al unir el centro con cada uno de los vértices. Cada uno de los ángulos centrales valdrá 60 grados. Por lo tanto, los otros dos ángulos del triángulo, valdrán 120 grados, y será lo mismo que un ángulo interior del exágono. Como que hay 6 ángulos interiores, cada uno vale 120 grados, los 6 tendrán un valor de 720 grados.

an = a1 + (n - 1) * d; an = 90 + (6 - 1) * d; an = 90 + 5d

720 = ( 90 + 90 + 5d ) * 6 / 2; 720 = (180 + 5d) 3; 240 = 180 + 5d; 5d = 60; d = 12

90, 102, 114, 126, 138, 150
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157. Un coronel coloca un soldado en la primera fila, 3 en la segunda, 5 en la tercera, etc., hasta colocar 1024 soldados. Se desea saber: a) Cuántos soldados tiene la fila 10. b) Cuántas filas hay. c) Qué superficie hubiera ocupado si los hubiera dispuesto en filas y columnas de igual número de soldados, distantes entre sí un metro.

a1 = 1; d = 2; S = 1024; a10 = ?; n = ?; Superficie = ?

an = a1 + (n - 1) * d; a10 = 1 + (10 - 1) * 2; a10 = 1 + 18; a10 = 19

an = a1 + (n - 1) * d; an = 1 + (n - 1) * 2; an = 1 + 2n - 2; an = 2n - 1

1024 = ( 1 + 2n - 1) * n / 2; 2048 = 2n²; n² = 1024; n = 32;

Habrían formado un cuadrado de 31 metros de lado, o sea 961 metros cuadrados.

a10 = 19; n = 32; Superficie = 961 metros cuadrados
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158. Calcular la suma de los múltiplos de 5 comprendidos entre 1243 y 4728.

Lo primero que tenemos que recordar es que los múltiplos de cinco, acaban en 0 ó en 5. Por lo tanto la sucesión estará comprendida entre 1245 y 4725.

a1 = 1245; an = 4725; d = 5; S = ?

an = a1 + (n - 1) * d; 4725 = 1245 + (n - 1) * 5; 3480 = (n - 1) * 5

n - 1 = 696; n = 697

S = ( 1245 + 4725) * 697 / 2;

S = 5970 * 697 / 2; S = 2985 * 697

2.080.545
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159. Encontrar tres números en p.a. de razón 5 sabiendo que el término central es igual a la media geométrica de los extremos mas uno.

Recordarmos que la media geometrica de dos números es la raiz cuadrada del producto.

Sean a1, a2 y a3. La media geométrica sería la raiz cuadrada de a1 * a3

a1 * a3 = (a2 - 1)² ; d = 5;

La progresión podríamos escribirla: a1, a2, a3 ó también así: a - 5, a, a + 5

a1 * a3 = (a2 - 1)²; (a - 5)(a + 5) = (a - 1)²; a²- 25 = a²+ 1 - 2a

- 25 = 1 - 2a; 2a = 26; a = 13

8, 13, 18
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160. En un parque hay 50 filas de árboles y se sabe que la diferencia entre el número de árboles de una fila y el del anterior es constante y además que en la fila ocho hay 41 y en la quince 62. Hallar; 1º) La diferencia entre le número de árboles de dos filas consecutivas; 2º) Valor de la plantación si cada árbol vale 100 pesetas.

Sabemos que es una progresión aritmética, porque la diferencia es constante.

n = 50; a8 = 41; a15 = 62; d = ?; S = ? precio = ?

Una progresión podría tener como primer término a8 = 41; último termino a15 = 62 y n = 8

a15 = a8 + (n - 1) * d; 62 = 41 + 7d; 21 = 7d; d = 3

Como sabemos cuánto vale a8, hacemos que éste sea el último;

41 = a1 + (n - 1) * d; 41 = a1 + 7 * 3; a1 = 41 - 21; a1 = 20

an = 20 + 49 * 3; an = 20 + 147; an = 167; S = (20 + 167) * 50 / 2; S = 187 * 25; S = 4675

d = 3; 467.500 pesetas
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161. Formar una p.a. de 6 términos, sabiendo que su suma es 69 y la diferencia entre los extremos es 15.

n = 6; S = 69; an - a1 = 15

an= a1 + 5d; an - a1 = 5d; pero como an - a1 = 15, resulta que 15 = 5d; d = 3

69 = (a1 + an) * 6 / 2; 69 = (a1 + an) * 3; 23 = a1 + an;

si an + a1 = 23, y an - a1 = 15, resulta que

2an = 38; an = 19; 19 - a1 = 15; a1 = 4

4, 7, 10, 13, 16, 19
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162. La suma de los once términos de una p.a. es 220. Sabiendo que la diferencia entre el último y el primero es 30, formar la progresión.

n = 11; S = 220; an - a1 = 30

an= a1 + 10d; an - a1 = 10d; pero como an - a1 = 30, resulta que 30 = 10d; d = 3

220 = (a1 + an) * 11 / 2; 440 = (a1 + an) * 11; 40 = a1 + an;

si an + a1 = 40, y an - a1 = 30, resulta que

2an = 70; an = 35; 35 - a1 = 30; a1 = 5

5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35
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163. La suma de 10 términos de una p.a. es 205. La diferencia entre el último y el primero es 27. Formar la progresión.

n = 10; S = 205; an - a1 = 27

an= a1 + 9d; an - a1 = 9d; pero como an - a1 = 27, resulta que 27 = 9d; d = 3

205 = (a1 + an) * 10 / 2; 205 = (a1 + an) * 5; 41 = a1 + an;

si an + a1 = 41, y an - a1 = 27, resulta que

2an = 68; an = 34; 34 - a1 = 27; a1 = 7

7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34
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164. En una p.a. de once términos, la suma de éstos es 176, y la diferencia entre el último y el primero es 30. Formar la progresión.

n = 11; S = 176; an - a1 = 30

an= a1 + 10d; an - a1 = 10d; pero como an - a1 = 30, resulta que 30 = 10d; d = 3

176 = (a1 + an) * 11 / 2; 352 = (a1 + an) * 11; 32 = a1 + an;

si an + a1 = 32, y an - a1 = 30, resulta que

2an = 62; an = 31; 31 - a1 = 30; a1 = 1

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31
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165. En una p.a. creciente la diferencia entre el último y el primer término es 20. La razón es igual al número de términos y la suma de éstos es 65. Hallarla.

n = d; S = 65; an - a1 = 20

an= a1 + (n - 1) *n; an - a1 = n(n-1); pero como an - a1 = 20, resulta que n(n-1) = 20;

y resolviendo la ecuación de segundo grado resulta que n = d = 5

65 = (a1 + an) * 5 / 2; 130 = (a1 + an) * 5; 26 = a1 + an;

si an + a1 = 26, y an - a1 = 20, resulta que

2an = 46; an = 23; 23 - a1 = 20; a1 = 3

3, 8, 13, 18, 23
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166. El segundo y el noveno término de una p.a. suman 29 y el tercero con el duodécimo suman 41. Calcular los cuatro términos.

a2 + a9 = 29
a3 + a12 = 41
pongo a todos los términos en función de a1, mediante an= a1 + (n - 1) *n;
a1 + d + a1 + 8d = 29
a1 + 2d + a1 + 11d = 41
2a1 + 9d = 29
2a1 + 13d = 41
restando la primera ecuación de la segunda, obtenemos 4d = 12; d = 3
sustituyendo en cualquiera, por ejemplo en la primera, resulta 2a1 + 27 = 29; 2a1 = 2; a1 = 1
y como a2 = a1 + d, resulta que a2 = 1 + 3; a2 = 4

a2 = 4; a3 = 7; a9 = 25; a12 = 34
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167. Una p.a. de doce términos es tal que la suma de sus once primeros términos es 253. Sabiendo que la semidiferencia entre dos términos consecutivos es 2, hallar el último termino.

n = 12; S11 = 253; (a2 - a1) / 2 = 2; an = ?

(a2 - a1) / 2 = 2; d / 2 = 2; d = 4

mediante an= a1 + (n - 1) *n calculo a11; a11 = a1 + 40;

S = (a1 + a1 + 40) * 11/ 2 = 253; 23 = (2a1 + 40) / 2; 23 = a1 + 20; a1 = 3

a12 = a1 + 11d; a12 = 3 + 11 * 4

a12 = 47
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168. La razón de una p.a. aritmética creciente es 2 y 11 el número de términos. Averiguar el primer término y la suma de los 11, sabiendo que el último termino es igual al cuadrado del primero.

d = 2; n = 11; a1 = ?; S11 = ?;an = a1²

mediante an= a1 + (n - 1) *n calculo an; a1² = a1 + 20;

a1² - a1 -20 = 0; resolviendo la ecuación resulta a1 = 5 an = 1²; an = 25;

S = (a1 + an) * n / 2; S = (5 + 25) * 11 / 2; S = 30 * 11 / 2;

S = 165; a1 = 5
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169. Los tres lados de un triángulo rectángulo están en p.a. de razón 3. Hallarlos.

n = 3; d = 3; ;an = ?;a1 = ?; a2 = ?

deberemos recordar el teorema de Pitágoras:
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Los lados del triángulo serán: x - 3; x; x + 3

(x + 3) ² = x² + (x - 3)²;

x² + 9 + 6x = x² + x² + 9 - 6x

x²= 12x; x = 12

9, 12 y 15
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170. Los lados de un triángulo rectángulo están en p.a. de razón 2, calcula las medidas.

n = 3; d = 2; ;an = ?;a1 = ?; a2 = ?

deberemos recordar el teorema de Pitágoras:
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Los lados del triángulo serán: x - 2; x; x + 2

(x + 2) ² = x² + (x - 2)²;

x² + 4 + 4x = x² + x² + 4 - 4x

x²= 8x; x = 8

6, 8, y 10
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171. La suma de los 5 primeros términos de una p.a. es 75 y la suma de los 7 primeros es 129'5. Calcular el primer término y la razón.

S5 = 75; S7 = 125; ;an = ?;a1 = ?;

Referiremos los últimos términos al primero.
S5 = (a1 + a5) * 5 / 2; S5 = (a1 + a1 + 4d) * 5 / 2
S7 = (a1 + a7) * 7 / 2; S7 = (a1 + a1 + 6d) * 7 / 2

75 = (2a1 + 4d) * 5 / 2; 150 / 5 = 2a1 + 4d; 30 = 2a1 + 4d
129'5 = (2a1 + 6d) * 7 / 2; 259 /7 = 2a1 + 6d; 37 = 2a1 + 6d

Restando miembro a miembro, resulta; 2d = 4; d = 3'5
Sustituyendo en 30 = 2a1 + 4d, resulta: 30 = 2a1 + 14; 2a1 = 16 a1 = 8; d = 3'5
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172. Los tres primeros términos de una p.a. son 12, 16 y 20. Calcular el número de términos que hay que añadirle para que la suma total sea 300.

a1 = 12; a2 = 16 ;a3 = 20;n = ?; S = 300

Podemos deducir facilmente que d = 4;
an = a1 + (n - 1) * d; an = 12 + (n - 1) * 4; sustituimos este valor en la suma:

S = (a1 + an) * n / 2; 300 = (12 + 12 + 4n - 4) * n / 2; 600 = (20 + 4n) * n

600 = 20n + 4n²; n² + 5n - 150 = 0
Al resolver esta ecuación, resulta que n = 10

Deberemos añadir 7 términos a la sucesión
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173. La suma de los 12 primeros términos de una p.a. es 157'8 y el cuarto término es 8'9. Calcular el séptimo y el onceavo.

S12 = 157'8; a4 = 8'9 ;a7 = ?; a11 = ?;

an = a1 + (n - 1) * d; a12 = a1 + 11 * d; sustituimos este valor en la suma:

S = (a1 + an) * n / 2; 157'8 = (a1 + a1 + 11d) * 12 / 2; 157'8 = (2a1 + 11d) * 6

26'3 = 2a1 + 11d; y como a4 = a1 + 3d; 8'9 = a1 + 3d; o también 17'8 = 2a1 + 6d
restando miembro a miembro, resulta: 5d = 8'5; d = 1'7

pero como 8'9 = a1 + 3d; si sustituimos: 8'9 = a1 + 5'1; a1 = 3'8
a7 = a1 + 6d; a7 = 3'8 + 10'2; y a11 = a1 + 10d; a11 = 3'8 + 17 a7 = 14; a11 = 20'8
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174. La suma de los términos de una p.a. de términos positivos es 199'5, el último término es 24 y la diferencia entre dos términos consecutivos es 1'5. Calcular el número de términos y el primero.

S = 199'5; an = 24 ;d = 1'5; a1 = ?; n = ?

an = a1 + (n - 1) * d; 24 = a1 + (n - 1) * 1'5; sustituimos este valor en la suma:

S = (a1 + an) * n / 2; 199'5 = (a1 + 24) * n / 2; 399 = (24 - 1'5n +1'5 + 24) * n

1'5 n²- 49'5n + 399 = 0; 3 n²- 99n + 798 = 0; n²- 33n + 266 = 0; n = 14

pero como 24 = a1 + (n - 1) * 1'5; si sustituimos: 24 = a1 + 13 * 1'5; a1 = 24 - 19'5;
a1 = 4'5; n = 14
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175. Tres números en p.a. creciente tienen por producto 45 y el más pequeño es 1. Cuáles son los otros dos?

(x- d) * x * (x + d) = 45

x - d = 1; x = 1 + d

1 * (1 + d) * (1 + 2d) = 45

1 + 2d + d + 2d²= 45; 2d² + 3d - 44 = 0

rersolviendo la ecuación resulta que d = 4

1; 5; 9
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176. La suma de tres números en p.a. es 21 y el producto 280. Formarla.

(x- d) + x + (x + d) = 21;

3x = 21; x = 7

(x- d) * x * (x + d) = 280

(7- d) * 7 * (7 + d) = 280;

7 * (49 - d²) = 280; 49 - d² = 40; d²= 9; d = 3

4, 7, 10
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177. Hallar tres números en p.a. siendo su suma 33 y su producto 1287.

(x- d) + x + (x + d) = 33;

3x = 33; x = 11

(x- d) * x * (x + d) = 1287

(11- d) * 11 * (11+ d) = 1287;

11 * (121 - d²) = 1287; 121 - d² = 117; d²= 4; d = 2

9, 11, 13
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178. Hallar un número de tres cifras que, dividido por la suma de las mismas, dé 15; las cifras están en p.a. y sumando al número 396 se obtiene el número invertido.

En el número 245, hay 200 + 40 + 5 unidades.

Sea el número formado por las cifras:(x- d) , x, (x + d);
El número tendrá: 100(x- d) +10x +(x + d) unidades.

Si invertimos el órden de las cifras, o sea: (x + d) , x, (x - d),
el número tendrá 100(x + d) + 10x + (x - d) unidades.

( 100(x- d) +10x +(x + d) ) / ( (x - d) + x + ( x + d) ) = 15;
(100x - 100d + 10x + x + d) = 15 * 3x; 111x - 99d = 45x; 66x = 99d; 2x = 3d;

100(x- d) +10x +(x + d) + 396 = 100(x + d) + 10x + (x - d) ;
100x - 100d + 10x + x + d + 396 = 100x + 100d + 10x + x - d;
111x - 99d + 396 = 111x + 99d; 198d = 396; d = 2

2x = 3d; 2x = 6; x = 3; x - 2 = 1; x + 2 = 5

135
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179. El volumen de un paralelepípedo es 1.232 cm3. Calcular sus aristas, sabiendo que están formadas por tres números en p.a. de razón 3.

Un paralelepídpedo es una caja de zapatos.
Tiene largo, ancho y alto: x - d; x; x + d; y el volumen será el producto de las tres dimensiones

(x- d) * x * (x + d) = 1232;
(x- 3) * x * (x + 3) = 1232;
x * (x - 9) = 1232;

1232 = 2⁴ * 7 * 11; luego 1232 se puede dividir por 2, 4, 8, 18, 7 y 11 solamente.
Preparando la ecuación para aplicar Ruffini: x³ - 9x - 1232 = 0;

Al aplicar los diferentes valores sobre la ecuación, vemos que solamente 11, cumple.
8, 11, 14
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180. Las tres aristas de un ortoedro que concurren en un mismo vértice tienen longitudes en p.a. cuya suma es 78 metros. El volumen del ortoedro es 16.640 m3. Hallar las longitudes de las aristas.

Un ortoedro es una caja de zapatos.
Tiene largo, ancho y alto: x - d; x; x + d; y el volumen será el producto de las tres dimensiones

(x- d) + x + (x + d) = 78; 3x = 78; x = 26;

(x- d) * x * (x + d) = 1232;
(26 - d) * 26 * (26 + d) = 16.640;
676 - d² = 640; d² = 36; d = 6

20, 26, 32
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181. En un paralelepípedo rectángulo las tres dimensiones están en p.a. y su suma vale 24 metros. Sabiendo que el área total mide 366 m2, calcular: a) sus dimensiones, y b) su volumen.

Un paralelepípedo es una caja de zapatos.
Tiene largo, ancho y alto: x - d; x; x + d; y el área total, será el área de sus seis caras;
y el volumen el producto de las tres dimensiones
(x- d) + x + (x + d) = 24; 3x = 24; x = 8;
Las caras serán (8 - d) * 8; 8 * (8 + d) y (8 - d) * (8 + d)
El área total 366 = 2 * ( (8 - d) * 8 + 8 * (8 + d) + (8 - d) * (8 + d) );
183 = 64 - 8d + 64 + 8d + 64 + d²
183 = 192 - d²; d² = 9; d = 3;

(x- d) * x * (x + d) = V;

5, 8, 11; V = 440
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182. Dado un ortoedro cuyas dimensiones son tres números naturales en p.a. de razón 2, determinar su volumen, sabiendo que su área total mide 142 m2.

Un ortoedro es una caja de zapatos.
Tiene largo, ancho y alto: x - d; x; x + d; y el área total, será el área de sus seis caras;
y el volumen el producto de las tres dimensiones
Las caras serán (x - 2) * x; x * (x + 2) y (x - 2) * (x + 2)
El área total 142 = 2 * ( (x - 2) * x + x * (x + 2) + (x - 2) * (x + 2) );
71 = x² - 2x + x² + 2x + x² - 4;
71 = 3x² - 4; 75 = 3x²; x² = 25; x = 5;
Los lados valdrán 5 - 2; 5 y 5 + 2;
(x- d) * x * (x + d) = V;

V = 105
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183. Encontrar tres enteros en p.a. creciente, sabiendo que su suma vale 15 y la suma de sus cuadrados 107.

(a - d); a; (a + d);

(a - d) + a + (a + d) = 15; 3a = 15; a = 5 ;

(5 - d)² + 25 + (5 + d)² = 107

25 + d² - 10d + 25 + 25 + d² + 10d = 107;

75 + 2d² = 107;2d² = 32; d²= 16; d = 4;

1, 5, 9
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184. Hallar tres enteros en p.a. creciente, sabiendo que su suma es 12 y la suma de sus cuadrados 56.

(a - d); a; (a + d);

(a - d) + a + (a + d) = 12; 3a = 12; a = 4 ;

(4 - d)² + 16 + (4 + d)² = 56

16 + d² - 8d + 16 + 16 + d² + 8d = 56;

48 + 2d² = 56;2d² = 8; d²= 4; d = 2;

2, 4, 6
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185. Encontrar cuatro números en p.a. creciente, sabiendo que su suma es 92 y la suma de sus cuadrados es 2.136.

(a - d); a; (a + d); (a + 2d)

(a - d) + a + (a + d) + (a + 2d) = 92; 4a + 2d = 92; 2a + d = 46; d = 46 - 2a;

(a - d)² + a² + (a + d)² + (a + 2d)² = 2136

a² + d² - 2ad + a² + a² + d² + 2ad + a² + 4d² + 4ad = 2136;

4a² + 6d² + 4ad = 2136; 2a² + 3d² + 2ad = 1068;

d = 46 - 2a; 2a² + 3(46 - 2a)² + 2a(46 - 2a) = 1068;

2a² + 3(2116 + 4a²- 184a) + 92a - 4a² = 1068

2a² + 6348 + 12a² - 552a + 92a - 4a² =1068; 10a²- 460a + 5280 = 0;

a² - 46 a + 528 = 0; a = 22 d = 46 - 2a; d = 46 - 44; d = 2

20, 22, 24, 26
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186. La suma de los cuatro términos de una p.a. es 2, y la suma de sus cuadrados es 46. Averiguar la progresión.

(a - d); a; (a + d); (a + 2d)

(a - d) + a + (a + d) + (a + 2d) = 2; 4a + 2d = 2; 2a + d = 1; d = 1 - 2a;

(a - d)² + a² + (a + d)² + (a + 2d)² = 46

a² + d² - 2ad + a² + a² + d² + 2ad + a² + 4d² + 4ad = 46;

4a² + 6d² + 4ad = 46; 2a² + 3d² + 2ad = 23;

d = 1 - 2a; 2a² + 3(1 - 2a)² + 2a(1 - 2a) = 23;

2a² + 3(1 + 4a²- 4a) + 2a - 4a² = 23

2a² + 3 + 12a² - 12a + 2a - 4a² =23; 10a²- 10a - 20 = 0;

a² - a - 2 = 0; a = 2; a = - 1 d = 1 - 2a; d = -3; d = 3

5, 2, - 1, - 4;
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187. Calcular los 10 términos de una p.a., sabiendo que la suma de los seis términos centrales es 93 y el producto de sus extremos es 58.

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10
Los seis términos centrales empiezan en a3 y acaban en a8

a3 = a1 + 2d; a8 = a1 + 7d; Luego la suma vendría expresada por:

93 = (a1 + 2d + a1 + 7d) * 6 / 2; 31 = 2a1 + 9d; 9d = 31 - 2a1; d = (31 - 2a1) / 9;

El producto de los extremos a1 * (a1 + 9d) = 58; sustituimos 9d:

a1 * (a1 + 9d) = 58; a1 * (a1 + 31 - 2a1) = 58; a1² - 31 a1 + 58 = 0

resolviendo la ecuación de segundo grado, reesulta que a puede valer 29 y 2;

el valor 29, no es viable, por lo tanto a = 2;

y sustituyendo en d = (31 - 2a1) / 9, resulta que d = (31 - 4) / 9; d = 3;

2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 y 29
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188. La suma de los seis términos centrales de una p.a. creciente de 16 términos es 141, y el producto de sus extremos es 46. Escribir la progresión.

a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., a13, a14, a15, a16
Los seis términos centrales empiezan en a6 y acaban en a11

a6 = a1 + 5d; a11 = a1 + 10d; Luego la suma vendría expresada por:

141 = (a1 + 5d + a1 + 10d) * 6 / 2; 47 = 2a1 + 15d; 15d = 47 - 2a1; d = (47 - 2a1) / 15;

El producto de los extremos a1 * (a1 + 15d) = 46; sustituimos 15d:

a1 * (a1 + 15d) = 46; a1 * (a1 + 47 - 2a1) = 46; a1² - 47 a1 + 46 = 0

resolviendo la ecuación de segundo grado, reesulta que a puede valer 46 y 1;

y sustituyendo en d = (47 - 2a1) / 15, por 1 resulta que d = (47 - 2) / 15;d = 3;

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 21, 23, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, y 46
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189. La suma de los cuatro términos centrales de una p.a. creciente de ocho términos es 70 y el producto del primero por el último 196. Formar la progresión

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8
Los cuatro términos centrales empiezan en a3 y acaban en a6

a3 = a1 + 2d; a6 = a1 + 5d; Luego la suma vendría expresada por:

70 = (a1 + 2d + a1 + 5d) * 4 / 2; 35 = 2a1 + 7d; 7d = 35 - 2a1; d = (35 - 2a1) / 7;

El producto de los extremos a1 * (a1 + 7d) = 196; sustituimos 7d:

a1 * (a1 + 7d) = 196; a1 * (a1 + 35 - 2a1) = 196; a1² - 35 a1 + 196 = 0

resolviendo la ecuación de segundo grado, resulta que a puede valer 38 y 7;

y sustituyendo en d = (35 - 2a1) / 7, por 7 resulta que d = (35 - 14) / 7;d = 3;

7, 10, 13, 16, 19, 21, 23, 25, 28
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190. La suma de 5 números en p.a. es 45 y la suma de sus inversos 137/180. Formar la progresión.

Si al término central, le llamamos a; a - 2d, a - d, a, a +d, a + 2d

a - 2d + a - d + a + a +d + a + 2d = 45; 5a = 45; a = 9
El término central, sera 9

1 / (9 - 2d) + 1 / (9 - d) + 1 / 9 + 1 / (9 + d) + 1 / ( 9 + 2d) = 137 / 180;

1 / (9 - 2d) + 1 / (9 - d) + 1 / (9 + d) + 1 / ( 9 + 2d) = 117 / 180
resolviendo y simplificando queda la ecuación; 52d⁴- 3465d²+ 26973 = 0

resolviendo la ecuación de segundo grado, resulta que d² puede valer 9 y d = 3;

3, 6, 9, 12, 15
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191. En una p.a. la razón y el número de términos son iguales. La suma de los términos es 120 y la diferencia de los extremos es 20. Construir la progresión.

d = n; S = 120; an - a1 = 20

S = (a1 + an) * n / 2; 240 = (a1 + an) * n;

an = a1 + (n - 1) * n; an - a1 = n²- n;

n²- n- 20 = 0; n = d = 5;

a - 2d + a - d + a + a +d + a + 2d = 120; 5a = 120; a = 24

14, 19, 24, 29, 34
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192. Una p.a. tiene un número impar de términos. El central vale 44 y el producto de los extremos 336. Calcular los extremos.

an * a1 = 336

El término central, será igual que la mitad de la suma de los extremos: an + a1 = 88;

Aprovechando la fórmula de la ecuación de segundo grado: x²- Sx + P = 0

resulta: x²- 88x + 336 = 0

resolviendo la ecuación

a1 = 4; an = 84
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193. Un número compuesto de tres cifras es igual a 26 veces la suma de sus cifras; éstas están en p.a.; y si al número dado se le suman 396, resulta el mismo número invertido: Cuál es el número ?

a - d; a; a + d

En un número se debe tener en cuenta el lugar que ocupan sus cifras.

26 * (a - d + a + a + d) = 100 (a - d) + 10 a + a + d

100 (a - d) + 10 a + a + d + 396 = 100 (a + d) + 10 a + a - d

78a = 111a - 99d; 33a = 99d; a = 3d
111a - 99d + 396 = 111a + 99d; 198d = 396; d = 2

4 6 8
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194. Si a, b y c están en p.a., los A= a²+ b²+ ab, B= a²+ c² + ac, C= b²+c²+bc están también en p.a. Comprobarlo.

a - d; a; a + d

A= (a - d)²+ a²+ (a - d) a;
B= (a - d)²+ (a + d)² + (a - d)(a + d)
C= a²+ (a + d)²+ a (a + d)

A = a²+ d²- 2ad + a²+ a²- ad
B = a²+ d²- 2ad + a²+ d²+ 2ad +a²- d²
C = a²+ a²+ d²+ 2ad + a²+ ad

A = 3a² + d² - 3ad
B = 3a² + d²
C = 3a² + d² + 3ad

d = 3ad
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195. Hallar la suma de los n primeros números impares.

a1 = 1; d = 2; S = ?

an = 1 + (n - 1) * 2; an = 2n - 1

S = (1 + 2n - 1) * n / 2; S = 2n²/2

S = n²
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196. Hallar la suma de los n primeros números pares.

a1 = 2; d = 2; S = ?

an = 2 + (n - 1) * 2; an = 2n

S = (2 + 2n) * n / 2;

S = n (n + 1)
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197. Hallar la suma de los n primeros números múltiplos de tres.

a1 = 3; d = 3; S = ?

an = 3 + (n - 1) * 3; an = 3n

S = (3 + 3n) * n / 2;

S = 3n (n + 1)/2
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198. Calcular cuatro enteros en p.a. conocida su suma 26 y el producto del segundo término por el cuarto 55.

n = 4; S = 26; a2 * a4 = 55

S = (a + a + 3d) * 4 / 2; 13 = 2a1 + 3d; d = (13 - 2a1) / 3

a2 * a4 = 55; (a1 + d) (a1 + 3d) = 55; a²+ 3ad + ad + 3d²= 55

a²+ 4a (13 - 2a) / 3 + 3((13 - 2a) / 3)²= 55

3a²+ 52a - 8a²+ 169 + 4a²- 52a = 55 a² = 4; a = 2

d = (13 - 2a1) / 3; d = 9 / 3; d = 3 2, 5, 8, 11
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199. El n término de una p.a. es (3n - 1)/6: Hallar el primer término, la razón y la suma de n términos.

A (3n - 1)/6, se le llama término general.

si n = 1; a1 = (3 - 1 ) / 6; a1 = 2 / 6;a1 = 1 / 3

si n = 2; a2 = (6 - 1 ) / 6; a2 = 5 / 6

por lo tanto la razón será: d = a2 - a1; d = 5 / 6 - 1 / 3; d = 1 /2

S = ( 1 / 3 + (3n - 1) / 6) n / 2; S = (2 + 3n - 1 ) n / 12; S = (1 + 3n) n / 12

a1 = 1 /3; d = 1 / 2; S = (n + 3n²) / 12
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200. Hallar la suma de los p primeros números positivos de la forma 4p + 1.

A 4p + 1, se le llama término general.

si p = 1; a1 = 4 + 1 ;a1 = 5

si p = 2; a2 = 8 + 1; a2 = 9

por lo tanto la razón será: d = a2 - a1; d = 9 - 5; d = 4

S = ( 5 + 4p + 1) p / 2; S = (6 + 4p) p / 2; S = (3 + 2p) p

S = 3p + 2p²
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201. La suma de n términos de una p.a. es n (3n + 2): hallar el octavo término.

n ( 3n + 2) = (a1 + an) n / 2

6n + 4 = a1 + an;

an = a1 + (n - 1) * d; a1 + a1 + (n - 1) * d = 6n + 4

2a1 + dn - d = 6n + 4

dn = 6n; d = 6

2a1 - d = 4; 2a1 = 10; a1 = 5

a8 = a1 + 7d

a8 = 47
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203. Hallar el primer término y la razón de una p.a. sabiendo que la suma de los n primeros términos es igual al cuádruplo de n2, para cualquier valor de n.

a1 = ?; d = ?; S = 4n²

si n = 1; S = 4n²; S = 4; a1 = 4

si n = 2; S = 4n²; S = 16; a1 + a2 = 16; a2 = 16 - 4; a2 = 12

d = a2 - a1; d = 12 - 4; d = 8

a1 = 4; d = 8
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204. Encontrar una p.a. tal que la suma de n términos sea igual a 5n2, para todos los valores de n.

si n = 1; S = 5n²; S = 5; a1 = 5

si n = 2; S = 5n²; S = 20; a1 + a2 = 20; a2 = 20 - 5; a2 = 15

d = a2 - a1; d = 15 - 5; d = 10

5, 15, 25, 35, ...
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205. Hallar la p.a. en la que la suma de sus n primeros términos es n2/2, para todos los valores de n.

si n = 1; S = n²/ 2; a1 = 1 /2

si n = 2; S = n²/ 2; S = 2; a1 + a2 = 2; a2 = 2 - 1 / 2; a2 = 3 / 2

d = a2 - a1; d = 3 / 2 - 1 / 2; d = 1

1/2, 3/2, 5/2, ...
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206. Hallar una p.a. tal que la suma de sus n primeros términos sea igual a n ( 3n + 1), para todos lo valores de n.

si n = 1; S = n ( 3n + 1); a1 = 4

si n = 2; S = n ( 3n + 1); S = 2 (6 + 1); S = 14; a1 + a2 = 14; a2 = 14 - 4; a2 = 10

d = a2 - a1; d = 10 - 4; d = 6

4, 10, 16, ...
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