Función exponencial

Función exponencial

Teoria

Ejercicios propuestos

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Con ligeras nociones de ecuaciones, potencias, radicales y sistemas, puedes conseguir facilmente realizar estos ejercicios.

Te recuerdo que:
* Todo número elevado a cero es igual a la unidad: a⁰= 1
* Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes: a⁵. a ³= a⁸
* Para dividir potencias de la misma base, se restan lo exponentes: a⁵/ a ³= a²
* Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes: (a⁵)³ = a¹⁵
* Una potencia con exponente negativo será lo mismo que uno partido por la misma potencia con exponente positivo: a^{- 5}= 1 / a⁵
* Una potencia con exponente fraccionario, equivale a una raíz: a^3/4=

...oooOOOooo...

Comiezo

Problemas propuestos

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51

Comiezo

1) 3^{2x + 5}= 3⁷

2) 5^{x + 3}= 25

3) 2^{1 + x}= 4^{2 - x}

4) 2^{x²- 1}= 8

5) 5^{x²- 5x + 6}= 1

6) 3^x. (3²)^x= 9³

7) 10^x/ 10³=

8) 1000 . 10^x=

9)

= 6

10)

= a^{3 - x}

11)

=

12)

13)

= a²⁶

14)

15)

= a

16)

17) 2^x+ 2^{x - 1}+2^{x - 2}= 7

18) 2^{x + 2}+ 2^{x + 3}+2^{x + 4}+2^{x + 5} + 2^{x + 6}= 31

19) 4^{x - 1}+ 4^{x - 2}+ 4^{x - 3}+ 4^{x - 4} + 4^{x - 5}= 341

20) 2 . 2^x+ 2^2x= 80

21) 3^{x²- 1}. 3^{2x - 4}. 3⁵= 6561

22) 7^{2x + 3} - 8 . 7^{x + 1}+ 1= 0

23) 2^2x - 10 . 2^x+ 16= 0

24) 2^{2x - 5} - 3 . 2^{x - 3}+ 1= 0

25) 3^{2x - 3} + 1 = 4 . 3^{x - 2}

26) 2^{2x - 6} + 1 = 5 . 2^{x - 4}

27) 5^{2x - 2} + 125 = 6 . 5^x

28) 2^{2x + 4} - 5 . 2^{x + 1} + 1 = 0

29)

30)

31)

32)

33) 4^2x + 16 . 4^{- 2x} - 10 = 0

34) 5^{1 - x} + 5^x = 6

35) 4^x + 2^{x + 1}- 80 = 0

36) 2^{x + 3} + 4^{x + 1} = 320

37) 9^{x + 1} + 3^{x + 2}- 810 = 0

38)

2^{x + 2y}= 32
2^{3x - 5y}= 16

3^x = 3^y
4^x . 4^y= 256

5^x = 5^y. 625
2^x. 2^y= 256

15 . 5^{x - 1} - 6^x= 339
3 . 5^x+ 2 . 6^{y + 1}= 807

2^{x + y} = 4^{x - y}
3^xy= 531441

y^x = x^y
x = y²

= 2
(x + y)²= 49

= 2
(x + y)³= 2097152

= 3
(x + y).2^x= 36

= 2
(x + y) . 3^x= 6⁷

x^1/4 + y^1/5= 5
x^3/4+ y^3/5= 35

x^3/4 + y^3/5= 5³
x^1/4+ y^1/5= 5

Comiezo

1) 3^{2x + 5}= 3⁷

2x + 5 = 7

2x = 2

x = 1
Volver

2) 5^{x + 3}= 25

5^{x + 3}= 5²

x + 3 = 2

x = - 1
Volver

3) 2^{1 + x}= 4^{2 - x}

2^{1 + x}= 2^{2(2 - x)}

1 + x =4 - 2x

x + 2x = 4 - 1

3x = 3

x = 1
Volver

4) 2^{x²- 1}= 8

2^{x²- 1}= 2³

x²- 1= 3

x²= 3 + 1

x = 2; x = - 2
Volver

5) 5^{x²- 5x + 6}= 1

5^{x²- 5x + 6}= 5⁰

x²- 5x + 6 = 0

x = 2; x = 3
Volver

6) 3^x. (3²)^x= 9³

3^x. (3²)^x= 3⁶

x + 2x = 6

x = 2;
Volver

x - 3 = 4 / x

x²- 3x = 4

como el índice de la raiz no puede ser 1

x = 4;
Volver

8) 1000 . 10^x=

x + 3 = 10 / x

x²+ 3x = 10

como que el índice de la raíz no puede ser negativo ...

x = 2;
Volver

6^{3 / (2x - 1)}= 6¹

3 = 2x - 1;

2x = 4

x = 2;
Volver

(5 - x) / 2 = 3 - x

5 - x = 6 - 2x;

x = 1;
Volver

(5 - x) / (x - 1) = (2x + 5) / (x + 1)

(5 - x) (x + 1) = (2x + 5) (x - 1)

5x + 5 - x²- x = 2x²- 2x + 5x - 5;

3x²- x - 10 = 0

x = 2;
Volver

x / 2 + x / 4 + x / 8 = 7

4x + 2x + x = 56

7x = 56;

x = 8;
Volver

2x / 3 + 2x / 9 + 2x / 27 = 26

18x + 6x + 2x = 27 . 26

26x = 27 . 26;

x = 27;
Volver

(2x - 1) / 2 + (x - 6) / 3 + (3x - 2) / 4 = (3x + 1) / 6

6 (2x - 1) + 4 (x - 6) + 3 (3x - 2) = 2 (3x + 1)

12x - 6 + 4x - 24 + 9x - 6 = 6x + 2;

19x = 38

x = 2
Volver

x / 2 + x / 4 + x / 8 = 1

4x + 2x + x = 8

7x = 8;

x = 8 / 7
Volver

/ 2 = 3 / (x - 2)

= 6 / (x - 2)

x - 1 = 36 / (x - 2)²

(x - 1) . (x - 2)²= 4 . 3²

x - 1 = 4

x - 2 = 3

x = 5
Volver

17) 2^x+ 2^{x - 1}+2^{x - 2}= 7

2^x+ 2^x/ 2 +2^x/ 4 = 7

Si sustituimos 2^x por p; resulta

p + p / 2 + p / 4 = 7

4p + 2p + p = 28; 7p = 28

p = 4
sus tituyendo este valor en 2^x, resulta:
2^x = 4; 2^x= 2²

x = 2
Volver

18) 2^{x + 2}+ 2^{x + 3}+2^{x + 4}+2^{x + 5} + 2^{x + 6}= 31

2^x. 2²+ 2^x. 2³ +2^x. 2⁴+ 2^x. 2⁵+2^x. 2⁶= 31

Si sustituimos 2^x por p; resulta

4p + 8p + 16p + 32p + 64p = 31

124p = 31

p = 1 / 4
sus tituyendo este valor en 2^x, resulta:
2^x = 1 / 4; 2^x= 1 / 2²; 2^x= 2^{- 2}

x = - 2
Volver

19) 4^{x - 1}+ 4^{x - 2}+ 4^{x - 3}+ 4^{x - 4} + 4^{x - 5}= 341

4^x/ 4 + 4^x / 16 + 4^x/ 64 + 4^x/ 256 +4^x/ 1024 = 341

Si sustituimos 4^x por p; resulta

p / 4 + p / 16 + p / 64 + p / 256 + p / 1024 = 341

256p + 64p + 16p + 4p + p = 341; 341p = 341 . 1024;

p = 1024
sus tituyendo este valor en 4^x, resulta:
4^x = 1024; 4^x= 4⁵

x = 5
Volver

20) 2 . 2^x+ 2^2x= 80

2 . 2^x+ (2^x)²= 80

Si sustituimos 2^x por p; resulta

2p + p² = 80

p² + 2p - 80 = 0; p = 8

sus tituyendo este valor en 2^x, resulta:
2^x = 8; 2^x= 2³

x = 3
Volver

21) 3^{x²- 1}. 3^{2x - 4}. 3⁵= 6561

x² - 1 + 2x - 4 + 5= 8

x² + 2x - 8 = 0

x = - 4; x = 2
Volver

22) 7^{2x + 3} - 8 . 7^{x + 1}+ 1= 0

7^2x. 7³ - 8 . 7^x. 7 + 1 = 0

7^x². 343 - 8 . 7^x. 7 + 1 = 0

Si sustituimos 7^x por p; resulta

343p² - 56p + 1 = 0

p = 1 / 7; p = 1 / 49;
sus tituyendo este valor en 7^x, resulta:
7^x= 1 / 7; 7^x = 1 / 49;

x = - 1; x = - 2
Volver

23) 2^2x - 10 . 2^x+ 16= 0

2^x² - 10 . 2^x + 16 = 0

Si sustituimos 2^x por p; resulta

p² - 10p + 16 = 0

p = 2; p = 8;
sus tituyendo este valor en 2^x, resulta:
2^x= 2; 2^x = 8;

x = 1; x = 3
Volver

24) 2^{2x - 5} - 3 . 2^{x - 3}+ 1= 0

2^x²/ 2⁵ - 3 . 2^x/ 2³ + 1 = 0

Si sustituimos 2^x por p; resulta

p²/ 32 - 3p / 8 + 1 = 0

p²- 12p + 32 = 0;

p = 4; p = 8;
sus tituyendo este valor en 2^x, resulta:
2^x= 4; 2^x = 8;

x = 2; x = 3
Volver

25) 3^{2x - 3} + 1 = 4 . 3^{x - 2}

3^2x/ 27 + 1 = 4 . 3^x/ 9;

Si sustituimos 3^x por p; resulta

p²/ 27 + 1 = 4p / 9

p²- 12p + 27 = 0;

p = 3; p = 9;
sus tituyendo este valor en 3^x, resulta:
3^x= 3; 3^x = 9;

x = 2; x = 1
Volver

26) 2^{2x - 6} + 1 = 5 . 2^{x - 4}

2^2x/ 64 + 1 = 5 . 2^x/ 16;

Si sustituimos 2^x por p; resulta

p²/ 64 + 1 = 5p / 16

p²- 20p + 64 = 0;

p = 4; p = 16;
sus tituyendo este valor en 2^x, resulta:
2^x= 4; 2^x = 16;

x = 2; x = 4
Volver

27) 5^{2x - 2} + 125 = 6 . 5^x

5^2x/ 25 + 125 = 6 . 5^x;

Si sustituimos 5^x por p; resulta

p²/ 25 + 125 = 6p;

p²- 150p + 3125 = 0;

p = 25; p = 125;
sus tituyendo este valor en 5^x, resulta:
5^x= 25; 5^x = 125;

x = 2; x = 3
Volver

28) 2^{2x + 4} - 5 . 2^{x + 1} + 1 = 0

2^2x . 16 - 5 . 2^x . 2 + 1 = 0;

Si sustituimos 2^x por p; resulta

16p² - 10p + 1 = 0;

p = 1 / 2; p = 1 / 8;
sus tituyendo este valor en 2^x, resulta:
2^x= 1 / 2; 2^x = 1 / 8;

x = - 1; x = - 3
Volver

2^{x - 1} + 2^{3 - x} = 5;

2^x/ 2 + 8 / 2^x = 5
Si sustituimos 2^x por p; resulta
p / 2 + 8 / p = 5;

p² + 16 = 5p; p²- 5p + 16 = 0;p = 2; p = 8;

sus tituyendo este valor en 2^x, resulta:
2^x= 2; 2^x = 8;

x = 1; x = 3
Volver

3^x + 3^{1 - x} = 4;

3^x + 3 / 3^x = 4
Si sustituimos 3^x por p; resulta
p + 3 / p = 4;

p² + 3 = 4p; p²- 4p + 3 = 0; p = 1; p = 3;

sus tituyendo este valor en 3^x, resulta:
3^x= 1; 3^x = 3;

x = 0; x = 1
Volver

5^x/ 5 = 2 + 3. 5^{2 - x};
5^x/ 5 = 2 + 3 . 5^{2 - x}
5^x/ 5 = 2 + 3 . 25 / 5^x
Si sustituimos 5^x por p; resulta
p /5 = 2 + 75 / p;
p² = 10p + 375; p²- 10p - 375 = 0; p = 25; p = - 15;

sus tituyendo este valor en 5^x, resulta:
5^x= 25; 5^x = 5²;

x = 2
Volver

3 / 3^x + 9 / 3^x= 4 / 27;

Si sustituimos 3^x por p; resulta
3 / p + 9 / p = 4 / 27;
12 / p = 4 / 27; 4p = 27 . 12; p = 81;

sus tituyendo este valor en 3^x, resulta:
3^x= 81; 3^x = 3⁴;

x = 4
Volver

33) 4^2x + 16 . 4^{- 2x} - 10 = 0

4^2x + 16 / 4^2x - 10 = 0;

Si sustituimos 4^2x por p; resulta
p + 16 / p - 10 = 0;
p² - 10p + 16 = 0; p = 2; p = 8;

sus tituyendo este valor en 4^2x, resulta:
4^2x= 2; 2^4x = 2¹; 4x = 1

4^2x= 8; 2^4x = 2³; 4x = 3

x = 1 /4; x = 3 / 4
Volver

34) 5^{1 - x} + 5^x = 6

5 / 5^x + 5^x = 6;

Si sustituimos 5^x por p; resulta
5 / p + p - 6 = 0;
p² - 6p + 5 = 0; p = 1; p = 5;

sus tituyendo este valor en 5^x, resulta:
5^x= 1; 5^x = 5⁰

5^x= 5; 5^x = 5¹

x = 0; x = 1
Volver

35) 4^x + 2^{x + 1}- 80 = 0

2^2x + 2^{x + 1} - 80 = 0;

Si sustituimos 2^x por p; resulta
p² + 2p - 80 = 0;
p = - 10; p = 8;

sus tituyendo este valor en 2^x, resulta:
2^x= - 10;
2^x= 8; 2^x = 2³

x = 3
Volver

36) 2^{x + 3} + 4^{x + 1} = 320

2^{x + 3} + 2^{2(x + 1)} = 320;

Si sustituimos 2^x por p; resulta
8p + 4p² - 320 = 0;
p² + 2p - 80 = 0; p = - 10; p = 8;

sus tituyendo este valor en 2^x, resulta:
2^x= - 10;
2^x= 8; 2^x = 2³

x = 3
Volver

37) 9^{x + 1} + 3^{x + 2}- 810 = 0

3^{2(x + 1)} + 3^{x + 2} - 810 = 0;

Si sustituimos 3^x por p; resulta
9p² + 9p - 810 = 0;
p² + p - 90 = 0; p = - 10; p = 9;

sus tituyendo este valor en 3^x, resulta:
3^x= - 10;
3^x= 9; 3^x = 3²

x = 2
Volver

38)2^{x + 2y}= 32
2^{3x - 5y}= 16

2^{x + 2y}= 2⁵
2^{3x - 5y}= 2⁴

x + 2y = 5
3x - 5y = 4

x = 3; y = 1
Volver

39)3^x = 3^y
4^x . 4^y= 256

3^x = 3^y
4^x . 4^y= 4⁴

x = y
x + y = 4

2x = 4

x = 2; y = 2
Volver

40)5^x = 5^y. 625
2^x. 2^y= 256

5^x = 5^y. 5⁴
2^x. 2^y= 2⁸

x = 4 + y
x + y = 8

4 + y + y = 8

2y = 4

x = 6; y = 2
Volver

41)15 . 5^{x - 1} - 6^x= 339
3 . 5^x+ 2 . 6^{y + 1}= 807

15 . 5^x/ 5 - 6^x= 339
3 . 5^x+ 2 . 6^y. 6 = 807

3. 5^x - 6^x= 339
3 . 5^x+ 12 . 6^y = 807

a = 5^x; b = 6^y

3a - b = 339
3a + 12b = 807

13b = 468; b = 36; 3a = 375; a = 125

x = 3; y = 2
Volver

42)2^{x + y} = 4^{x - y}
3^xy= 531441

2^{x + y} = 2^{2(x - y)}
3^xy= 3¹²

x + y = 2x - 2y
xy = 12

x = 3y; 3y.y = 12;

x = 6; y = 2; x = - 6; y = - 2
Volver

43)y^x = x^y
x = y²

y^x = y^2y

x = 2y;

2y = y²

x = 4; y = 2
Volver

= 2
(x + y)²= 49

x + 4y = 2⁴; x + 4y = 16;

x + y = 7; x + y = - 7

3y = 9; 3y = 23;

x = 4; y = 3;; x = - 44 / 3; y = 23 / 3
Volver

= 2
(x + y)³= 2097152

x + y = 2^x;

x + y = 128

2^x = 128;

2^x = 2⁷;

x = 7; y = 121
Volver

= 3
(x + y).2^x= 36

x + y = 3^x;

(x + y) . 2^x= 36

3^x . 2^x = (2 . 3)²;

(2 . 3)^x= (2 . 3)²

2 + y = 3²

x = 2; y = 7
Volver

a^{1 / x}. a^{1 / y}= a ^{7 / 12}
a^{3 / x} / a^{4 / y}= a⁰

1 / x + 1 / y = 7 / 12;
3 / x - 4 / y = 0;

1 / x = a; 1 / y = b;

3a - 4b = 0; 3a = 4b

a + b = 7 /12; a = 7/12 - b;

3(7 / 12 - b) = 4b; 7 / 12 - b = 4b / 3; 7 - 12b = 16b; 28b = 7; b = 1 / 4;

a = 7 / 12 - 1 / 4; a = 7 / 12 - 3 / 12; a = 4 / 12; a = 1 / 3;

x = 3; y = 4
Volver

a^{x / 2}. a^{6 / y}= a ³
a^{8 / x} . a^{y / 2}= a⁵

x / 2 + 6 / y = 3;
8 / x + y / 2 = 5;

xy + 12 = 6y
16 + xy = 10x

4 = 10x - 6y; 2 = 5x - 3y; y = (5x - 2) / 3;

x . (5x - 2) / 3 + 12 = 6 (5x - 2) / 3; 5x²- 2x + 36 = 30x - 12;

5x²- 32x + 48 = 0;

x = 4; y = 6
Volver

= 2
(x + y) . 3^x= 6⁷

x + y = 2^x
(x + y) . 3^x= 6⁷

2^x . 3^x= 6⁷

6^x= 6⁷;

x = 7; y = 121
Volver

50)x^1/4 + y^1/5= 5
x^3/4+ y^3/5= 35

x^1/4 = a; y^1/5 = b;

a + b = 5;
a³+ b³= 35

b = 5 - a;
a³+ (5 - a)³= 35;

a³+ 125 - a³- 75a + 15a²= 35;

15a² - 75a + 90 = 0; a² - 5a + 6 = 0;

a = 2; a = 3; b = 3; b = 2;

x^1/4 = 2; x = 2⁴;x^1/4 = 3; x = 3⁴;
y^1/5= 3; y = 3⁵;y^1/5= 2; y = 2⁵;

x = 16; y = 243;; x = 81; y = 32
Volver

51)x^3/4 + y^3/5= 5³
x^1/4+ y^1/5= 5

x^1/4 = a; y^1/5 = b;

a + b = 5;
a³+ b³= 125

b = 5 - a;
a³+ (5 - a)³= 125;

a³+ 125 - a³- 75a + 15a²= 125;

15a² - 75a = 0; a² - 5a = 0;

a = 0; a = 5; b = 5; b = 0;

x^1/4 = 0; x = 0; x^1/4 = 5; x = 5⁴;
y^1/5= 5; y = 5⁵;y^1/5= 0; y = 0;

x = 0; y = 3125;; x = 625; y = 0
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