de Corrado Malanga y Luciano Pederzoli

[ En el texto esta ortografía está reservada al análisis dimensional y comentarios relacionados ]

En la siguiente adoptamos las siguientes convenciones :

c = velocidad de la luz (de la IS)     [ l t-1 ]
f = frecuencia de oscilación (del SI)     [ t-1 ]
T = 1/f = periodo de oscilación (del SI)     [ t ]
e = carga potencia unitaria (desde el sistema CGS)     [ (l3 m t-2)1/2 ]
h = la constante (del SI) de Planck     [ l2 m t-1 ]

NB : Todos las ĉ utilizadas en el texto son constantes adimensionales, que no afectan el comportamiento cualitativo de las fórmulas, pero sólo sirven para tener en cuenta las unidades de medida adoptadas.

Heisenberg, con su principio de indeterminación dice (del SI) que :

con h = constante de Planck.

La indeterminación representa la incerteza ΔT*ΔE en la definición contemporánea de la energía que posee una partícula y el instante de tiempo cuando la posee. Tal principio establece que, si se reduce a cero la incerteza temporal, la otra incerteza se hace de magnitud infinita, por lo que es imposible determinar la energía de la partícula en el instante elegido.

Naturalmente, el principio también permite hacer una reversión de la situación, por lo que es imposible determinar el instante en el que la partícula tiene esa energía exacta "prefijada".

La ΔT*ΔE ≥ h/(4*π) se escribe a menudo de otra manera :

con x = posición, p = cantidad de impulso (m*v) y ℏ = h/(2*π).

De esta forma la indeterminación Δx*Δp representa la incerteza en la definición contemporánea de la posición que una partícula tiene y de la cantidad de movimiento (el producto de la masa por la velocidad de la partícula) que posee en esa posición.

En lugar de que :

se podría escribir :

Expresión que implica la incerteza de la definición contemporánea de la posición x de la masa m, y de la velocidad v de la partícula.

Observamos que la ecuación ΔT*ΔE = h/(4*π) es del tipo x*y = const., lo que representa una hipérbola equilátera en un plano cartesiano del que T (tiempo) y E (Energía) son los ejes de coordenadas. En consecuencia, se puede decir que el principio implica la existencia de estos ejes, tanto es así que, al recurrir a ellos, se obtiene su representación gráfica sencilla, como lugar geométrico de puntos que están más allá de una curva límite constituida por la hipérbola misma.

La ecuación 3) pone de relieve, sin embargo, la importancia de la posición (espacio), de la masa y de la velocidad (espacio / tiempo). Total : espacio, tiempo y masa. Recordemos, sin embargo, que la masa y la energía, según Einstein, son la misma cosa, de hecho :

Considerando la 1) y 3) es seguro asumir que los ejes de coordenadas implicados no son sólo dos (Tiempo y Energía), sino también hay un tercero, el Espacio.

Introducimos, por lo tanto, la hipótesis según la cual el principio de indeterminación de Heisenberg solamente representa la versión bidimensional de un principio de indeterminación más general (tridimensional) : en consecuencia, a los ejes de coordenadas T y E añadiremos, en un sistema cartesiano tridimensional, el eje espacial S.

En lugar de E, adoptaremos para la energía, a partir de ahora, el símbolo U, de modo que el principio de indeterminación de Heisenberg se convertirá, en las dos formas examinadas :

Dimensionalmente : [ l2 m t-1 ].

En el nuevo sistema ortogonal de coordenadas S, T y U surgen, por lo tanto, tres principios de indeterminación PARTICULARES (bidimensionales), uno para cada par de ejes de coordenadas (el primero es el clásico principio de indeterminación de Heisenberg).

Desde el punto de vista dimensional son :

7) ΔU*ΔT = ΔEnergia*ΔTempo	[ l2 m t-2 ] [ t ] = [ l2 m t-1 ]	Heisemberg
8) ΔT*ΔS = ΔTiempo*ΔEspacio	[ t ] [ l ] = [ l t ]
9) ΔU*ΔS = ΔEnergía*ΔEspacio	[ l2 m t-2 ] [ l ] = [ l3 m t-2 ]

De las que se deduce facilmente ΔS , ΔT y ΔU, que, situándose respectivamente en los ejes S, T y U, no puede tener otras dimensiones que las de un espacio, un tiempo y una energía.

10) ΔU = Energia	[ l2 m t-2 ]
11) ΔT = Tiempo	[ t ]
12) ΔS = Espacio	[ l ]

Pero también se puede decir :

13) ΔU ≥ (h*frecuencia) = h*f     [ l2 m t-2 ] = [ l2 m t-1 ] [ t-1 ]

Es decir, la incerteza de la Energía es proporcional a una frecuencia (f).

Entonces, ¿por ΔT no debe ser proporcional (según una constante que llamaremos ĉT) en un período (T) y ΔS (según una constante que llamaremos ĉS) y una longitud de onda (λ)?

La longitud de onda es la velocidad / frecuencia y parece bastante legítimo adoptar, como velocidad, c, es decir, la de la luz.

Como consecuencia : λ = c/f = c*f-1.

14) ΔT (periodo) ≥ ĉT*T	= ĉT*f-1	[ t ]
15) ΔS (longitud de onda) ≥ ĉS*λ	= ĉS*c* f-1	[ l ]

El 13) tiene las dimensiones de la clásica relación E = h*f, que expresa la energía del fotón, pero también [ l2 m t-2 ] = [ m ] [ l t-1 ]2 , con las dimensiones en la igualmente nota E = m*c2, siendo, de hecho, [ l t-1 ] una velocidad (ver Demostración 1).

ΔS, ΔT y ΔU pueden interpretarse como LAS TRES DIMENSIONES QUE DEFINEN UNA PARTÍCULA EN EL DOMINIO S-T-U (Espacio-Tiempo-Energía), y se puede afirmar que :

ΔU es proporcional a una frecuencia,
ΔT es proporcional a un período y
ΔS es proporcional a una longitud de onda.

Haciendo el producto de las dimensiones de ΔS, ΔT y ΔU se obtiene :

16) ΔS*ΔT*ΔU     [ l ] [ t ] [ l2 m t-2 ] = [ l3 m t-1 ]

A partir de 10), 11) y 12) a fin de derivar las relaciones, características del dominio S-T-U :

17) ΔS/ΔT (velocidad)	[ l t-1 ]	= [ l t-1 ]
18) ΔU/ΔS (fuerza)	[ l m t-2 ]	= [ l t-1 ] [ t-1 ] [ m ]
19) ΔU/ΔT (potencia)	[ l2 m t-3	= [ l t-1 ]2 [ t-1 ] [ m ]

Si adopta c (velocidad de la luz) en lugar de [ l t-1 ] y m*c2
en lugar de [ l2 m t-2 ], derivan :

20) ΔS/ΔT = c
21) ΔS/ΔU = m*c2/λ	= m*c2*f/c	= m*c*f
22) ΔU/ΔT = m*c2*f

Pero analizamos nuevamente las relaciones 7), 8) y 9) desde un punto de vista dimensional :

14) ΔU*ΔS	[ l3 m t-2 ]	= [ l t-1 ]3 [ t ] [ m ]
15) ΔU*ΔT	[ l2 m t-1 ]	= [ l t-1 ]2 [ t ] [ m ]
16) ΔT*ΔS	[ l t ]	= [ l t-1 ] [ t ] [ t ]

Se nota que ΔU*ΔS tiene la dimensión de una CARGA ELÉCTRICA AL CUADRADO (ver Nota), y luego vale ĉ1*e2 , donde ĉ1 representa una constante genérica de proporcionalidad (eligiendo adecuadamente la unidad de medida, nada prohíbe que sea igual a 1).

ΔU*ΔT, sin embargo, como hemos visto, tiene la dimensión de la constante de Planck (h).

Si, una vez más, en lugar de [ l t -1 ], se asume el valor de c, como se ha hecho anteriormente, se obtiene, siendo e la carga del electrón :

17) ΔU*ΔS ≥ ĉS*h*c	= ĉ1*e2
18) ΔU*ΔT ≥ ĉT*h	= ĉ1*ĉT*e2/(ĉS*c)	= ĉ2*e2*c-1
19) ΔT*ΔS ≥ c/f2	= ĉT*ĉS*c/f2	= ĉT*ĉ1*e2/(h*f2)	= ĉ3*e2*f-2*h-1

Los productos ΔU*ΔS, ΔU*ΔT, ΔT*ΔS , según lo indicado por su subíndice, relativos respectivamente a los "planos" U-S, U-T y T-S , y definir "superficies" se puede equiparar con esos círculos, cuyos radios valen :

20) ΔU*ΔS (área) ≥ ĉS*h*c = ĉ1*e2 (radio) ≥ h*(ĉS*c/π)1/2 = (ĉ1/π)1/2*e
21) ΔU*ΔT (área) ≥ ĉT*h = ĉ2*e2*c-1 (radio) ≥ h1/2*(ĉT/π)1/2 = (ĉ2/π)1/2*e/(c1/2)
22) ΔT*ΔS (área) ≥ c/f2 = ĉ3*e2*f-2*h-1 (radio) ≥ (1/f)*(c/π)1/2 = (ĉ3/π)1/2*(e/f)*h1/2

Si ΔU*ΔS es proporcional al cuadrado de la carga eléctrica elemental, es probable que incluso ΔU*ΔT sea proporcional al cuadrado de otro parámetro elemental (magnético?), de valor igual a la raíz de h (o de valor igual a la carga eléctrica elemental dividida por la raíz de h), y que ΔT*ΔS sea proporcional al cuadrado de un ulterior parámetro elemental (gravitacional?), de valor igual a la raíz de c dividido por f (o un valor igual a la raíz de h multiplicado por la carga eléctrica elemental y dividido por f).

Como resultado de esto, se puede definir EL PRINCIPIO DE INDETERMINACIÓN GENERAL (tridimensional) :

23) ΔS*ΔT*ΔU ≥ ĉS*ĉT*h*c*f-1 = ĉ4*h*c*f-1 = (ĉ1*ĉ2*ĉ3*h*c/π3)1/2*(e3/f) = ĉ5*e3*f-1

El 23) es el producto de tres Δ, es decir, una especie de "volumen", que puede ser equiparado al de una esfera y expresado a partir de un oportuno "radio" elevado a la tercera potencia. Tal "radio" ΔSTU vale :

Alternativamente también vale :

Siendo ω (la pulsación o velocidad angular) igual a 2*p*f.

Es importante notar que :

ω ES UN PARÁMETRO CARACTERÍSTICO DE LA ROTACIÓN.
SEGUN EL PRINCIPIO DE INDETERMINACIÓN GENERAL MP EL PROTOTIPO DE LA INCERTEZA DE LA LONGITUD, EL TIEMPO Y LA ENERGÍA ES AL MENOS IGUAL A UNA CONSTANTE DIVIDIDA POR UNA FRECUENCIA.

Una partícula sujeta a este principio se comportaría prácticamente como una bola (con dimensiones que dependen de la frecuencia) hecha de goma muy delgado y extremadamente elástica, llena de agua y suspendida a media altura en una balsa de agua. Aplastándolo, la pelota se deforma y se ensancha, más cuanto más se comprime. Debido a la cantidad de agua contenida en ella es siempre la misma, su volumen se mantiene constante, pero su apariencia puede cambiar mucho.

PERSPECTIVAS

- Por el principio de indeterminación de Heisenberg que ya ha demostrado su validez a lo largo de cada uno de los tres ejes clásicos del Espacio. Existen, de hecho, tres componentes del Espacio : Sx, Sy y Sz (normalmente llamados simplemente : x, y, z), para cada una de las cuales vale dicho principio. Es, sin embargo, hipotizable que también para el Tiempo existan tres componetes : Tx, Ty, Tz. Para la energía existirán, en consecuencia, los otros tres componentes : Ux, Uy, Uz. En total nueve componentes dimensionales : 3 para el Espacio, 3 para el Tiempo y 3 para la Energía.

- Debido a que ω es un parámetro característico de la rotación y 13), 14) y 15) aparecerá frecuencia, periodo y longitud de onda, se plantea expontáneamente la hipótesis que F, T y λ puedan referirse al mismo fenómeno, esquematizado con una rotación a velocidad angular ω.

- Si la masa es proporcional a la frecuencia, y tenemos que ver con una rotación, se puede suponer que la masa es proporcional a la velocidad angular ω = 2*π*f y sea una propiedad estrechamente relacionada.

Demostración 1

Admitimos que, por la misma partícula (FOTÓN), ambos valores :

E = m*c2

E = h*f

Igualándolas, se obtiene :

m*c2= h*f

de donde se obtiene :

m = (h/c2)*f     [ l2 m t-1 ] [ l t-1 ]-2 [ t-1 ] = [ m ]

Se deduce que la masa del fotón es proporcional a su frecuencia.

En efecto : f * 6,626 * 10-34 / 9 * 1016 = f * 0,7362 * 10-50 Kg (del SI)

Por ejemplo, a 1 GHz, la masa vale 0,7362 * 10-41 Kg = 7,362 * 10-39 g (del CGS)

Nota

De hecho, la ley de Coulomb, dice :

F = ĉ*(Q1*Q2)/r2

en la que Q1 y Q2 son las cargas eléctricas,

ĉ es una constante,

r es la distancia que las separa, y

F la fuerza con que se atraen o se repelen, dependiendo de sus signos.

Suponiendo que las dos cargas son iguales, se tiene :

F = Q2/r2

a partir del cual se puede derivar :

Q= (F*r2)1/2

o, siendo F = m*a, también :

Q= (m*a*r2)1/2 ,

cuyas dimensiones son, de hecho : [ l3 m t-2 ]1/2