Fermat, Pascal y yo                              Volver atrás

Diciembre 2000

 

            Este artículo debe ser atípico en Matemáticas. En Matemáticas, como en cualquier ciencia que se precie, las cosas son o no son. Se habla de las que son, se omiten las que no son y se reserva hacer mención a las personas sólo para cuando se trata de celebridades. Por supuesto no se admiten frases como: "A mi me parece que..."

 

            En este año, especial para las Matemáticas, me he decidido a recopilar mis notas de varios años de trabajo... y, de paso, explicar qué motivó, a un mecánico, a dedicar tanto tiempo a un problema de Matemáticas que ni le iba ni le venía y que, casi en términos de certeza, sabía que no podía resolver.

 

Siempre he creído en la teoría del "hombre extraño". Habla de poner una persona, preferentemente sensata, en un entorno profesional que le sea desconocido... Déjelo que escuche y que, de vez en cuando, pregunte, comente... Con seguridad le sorprenderá.

 

Lea este artículo como la aportación del "hombre extraño". Éste es mi papel... aunque mi sensatez esté por probar.

 

Le hablaré de una propiedad interesante del Triángulo de Pascal; de cómo parece necesario definir las combinaciones de "menos 7 sobre 8"; de dónde puede ser que algún día alguien, quizás usted, encuentre una solución al Teorema de Fermat, de una manera distinta de resolver las Ternas Pitagóricas...

 

El problema de este "hombre extraño" es que nadie le ha otorgado ese papel y que, tal vez, nunca sabrá si en sus comentarios hay algo capaz de sorprender a un matemático.

 

Si yo fuera matemático y un mecánico me hablara de sus trabajos sobre el Teorema de Fermat, también lo atendería según obliga la cortesía, no la curiosidad.

 

Eduard Bagés Guiu

 

ebagesg@tinet.cat

 

 

 

Fermat, Pascal y yo

Diciembre 2000

 

 

            Desde el punto de vista matemático, todo comenzó con las ternas pitagóricas.

 

Las ternas pitagóricas (Ternas) son las ternas de valores enteros que pueden tomar los lados de triángulos rectángulos. O sea, soluciones enteras para A, B y C en:

 

 

            Este problema ya fue resuelto por los pitagóricos.

 

Hasta que recientemente ha sido demostrado, el Teorema de Fermat, conocido como El Gran Teorema, era sólo una conjetura sobre una ecuación muy simple:

 

 

Afirma que, para valores de A, B y C enteros positivos mayores que 0, la ecuación siempre será falsa para n entero mayor que 2.

 

El Teorema de Fermat ha permanecido sin demostración durante más de trescientos años.

 

La primera vez que leí algo sobre el Teorema de Fermat fue en un periódico. Yo no debía tener más de 13 ó 14 años. Mi padre me dio a leer el artículo porque yo tenía entonces una gran afición a las Matemáticas y, en opinión de muchos, una cierta facilidad para ellas.

 

            La inocencia que se tiene a esa edad tuvo la culpa de que yo perdiera varias horas en un teorema que nadie había resuelto en trescientos años.

 

            Pasaron muchos años. Sólo alguno de ellos debió pasar sin que me llegase alguna referencia al Teorema de Fermat. Acabada mi carrera de Ingeniero Técnico y, libre por fin de calendarios escolares, estudiaba lo que me apetecía: Matemáticas, Electricidad, Física... me inicié en la Informática recién nacida y leí algunos libros de divulgación científica y algunas biografías.

 

            Fue una sorpresa para mí descubrir que los principios de Newton habían caído hacía años, que también había caído la geometría Euclidiana y que los relojes eran como los pintó Dalí.

 

Tuve algún sentimiento de reproche hacia aquel sistema de enseñanza que me ocultó todo esto y los sumé a los antiguos reproches de mi vida de estudiante. El sistema me tuvo encajando respuestas y respuestas allí en donde no habían preguntas.

 

Alcancé la cima de la desesperación cuando me enteré de que Newton ya sabía que sus principios eran falsos. A Newton le costaba creer que un padre, mientras levantaba a su hijo del suelo, movía la Luna. Y en lo que definitivamente no estaba de acuerdo es en que todo ello ocurriera instantáneamente. Visto así, debió costarle mucho más construir sus principios que derribarlos.

 

Mi situación no era la de un universitario al que las últimas noticias le llegan tarde, era bastante más grave. Tampoco me parecía el problema particular de un mal estudiante.

 

Gente de hace trescientos años (gente especial, eso si) nos dan "sopa con ajos" a la mayoría de universitarios de ahora (por lo menos a los que son tan normales como yo). Fue un drama para mi descubrir que ellos estudiaban pensado y que yo no sabía lo qué había estado haciendo.

 

Debía encontrarme en esta situación cuando leí una reseña muy interesante sobre los problemas Diofánticos. Los matemáticos los habían abandonado porque eran intratables e irreductibles y, al fin y al cabo, sólo aparecían como juegos.

 

Los problemas Diofánticos son aquellos que no aceptan por resultado: "Le salvé la vida a medio caballo". Son problemas en donde sólo son válidas soluciones enteras. Las ternas pitagóricas son un ejemplo. Pueden ser problemas desconcertantes y sino, vean uno clásico:

 

El dueño de la casa plantea un problema a su invitado. Debe calcular la edad de sus tres hijas. El dueño, afirma que el producto de las edades de sus tres hijas da 36 y que su suma da por resultado el número de la casa de enfrente.

El invitado, se asoma al balcón, realiza sus cálculos y protesta porque al problema le falta un dato. El dueño enmienda la deficiencia añadiendo que la mayor tiene los ojos azules.

¿Cuáles eran las edades de las tres hijas del dueño de la casa?

 

Explicaba el autor del artículo que los físicos estaban en apuros. Ocurría que, con la Física Cuántica, se les planteaban sistemas de ecuaciones que sólo podían tener soluciones enteras. Ahora era urgente desarrollar aquellas Matemáticas que algún día "se abandonaron".

 

De nuevo estaba el Teorema de Fermat sobre la mesa. Ahora, no como una anécdota sino como la llave que tal vez abriría la puerta de esas Matemáticas.

 

La Teoría de los números es la parte de las Matemáticas que estudia las propiedades de las ecuaciones con números enteros. Pretendía incluir aquí algún párrafo sencillo y para ello he abierto un libro sobre la materia al que no le da el aire desde hace muchos años. Siento decirles que he desistido. Las primeras cinco líneas, del primer capítulo, que se llama "Nociones", podría llevarme varias horas entenderlo.

 

Por lo visto, el Gran Teorema ha propiciado el nacimiento de nuevos modelos matemáticos en la Teoría de los números y han sido muchas las ocasiones en que se ha creído que el Teorema estaba demostrado hasta que, en la demostración, se ha localizado un paso no demostrado.

 

Parecía posible que, si se demostraba el Teorema de Fermat, pudieran demostrarse aquellos mismos pasos que invalidaban las anteriores demostraciones. Podía suponer varios pasos de gigante en muchos frentes a la vez.

 

¿Es posible que aún conservara la inocencia de mis trece años? ¿Qué probabilidades tenía ante un problema al que un señor, de hace trescientos años, fue capaz de hallar solución?...

 

Así fue que, durante diez o doce años, por campañas, según el estado de mis biorritmos, dediqué a ello mucho tiempo. Cuando empecé con el Teorema de Fermat, pensé que para mí, ya sería un gran logro volver a descubrir, por mí solo, las ternas pitagóricas.

 

Un día, en un informativo por televisión, anunciaban que el Teorema de Fermat había sido demostrado. ¡Toda una noticia! Yo no creí que viviera tanto como para oír eso... Felicidades Andrew Wiles.

 

Creo que la misma noticia dejaba entrever que la demostración no era fácil de entender. En las semanas siguientes no se divulgó la codiciada demostración y me pareció evidente que, aquella demostración, nunca sería asequible a mis neuronas... por tanto, no  podía tratarse de la prueba que Fermat dijo haber encontrado (conclusión muy osada ya que supone que yo, como universitario "normal" de finales del siglo XX, puedo entender cualquier cosa que entendiera el Sr. Fermat).

 

La noticia no rompía mi juguete preferido de los últimos años. Lo que sí rompió fue una de las normas que me impuse al poco de comenzar mis andaduras en el Gran Teorema: "No curiosear en lo que habían hecho otros respecto al tema".

 

Cuando llegó la oportunidad, leí un libro sobre la nueva (la única) demostración del Teorema de Fermat, ahora Teorema de Fermat-Wiles. El autor del libro ya contaba con que la demostración entera no le ayudaría a vender, así que, nos hizo el favor de resumirla en grandes rasgos. Muy interesante.

 

Yo la voy a contar como la entendí.

           

Existe un mundo de las Matemáticas que debe llamarse "Teoría de curvas elípticas" y otro llamado "Funciones modulares". Taniyama-Shimura conjeturaron que el número de soluciones de una ecuación en el primer mundo depende de la forma que toma en el segundo. Concretamente del número de agujeros que presenta.

 

Los señores Frey y Ribet transformaron la ecuación de Fermat en una ecuación del mundo de las curvas elípticas y observaron que, por el número de agujeros que presentaba como modular, la conjetura de Fermat era cierta.

 

Quien demostrara la conjetura de Taniyama-Shimura habría demostrado el Gran Teorema.

 

Entonces, siete años más tarde, el Sr. Wiles, va y lo demuestra.

 

Tanto tiempo sin que nadie resolviera el problema hace sospechar que el  problema está mal enfocado desde el principio. Por ello ha costado tanto esfuerzo resolverlo. Hay diversas consideraciones que me hacen sospechar que el Teorema de Fermat, en la forma en que lo conocemos, es la aplicación particular de un teorema más general. Creo que buscar la demostración del caso general hubiera sido más sencillo y creo que es la prueba que encontró Fermat.

 

Hasta ahora he hablado de mí y de mi (disfrazando el texto como artículo de divulgación). Sólo pretendía entrar en el tema (¡cinco páginas!)... pero entienda que es complicado. Por desgracia no tengo un camino que sepa de donde parto, por donde voy y cómo llegar a una solución. Así que, confieso: Desde el principio estoy tratando de meterle a usted en el bosque donde me he perdido. Si entra en el, siempre podrá ver las pocas cosas que me he encontrado... y encontrar otras.

 

 

 

 

 

 

 

 

Entrando ya en matemáticas... Necesitamos un ejemplo para explicar que el Teorema de Fermat podría ser sólo una particularidad de un teorema más general. Necesitamos algo conocido (que por supuesto aparezca en los libros) pero que, en realidad, como lo conocemos, sea una particularidad de algo más general... Y casualmente lo tengo. Veamos:

 

El Triángulo de Pascal es la disposición numérica:

 

 

 

Sobre el Triángulo de Pascal hay referencias anteriores al año 1100.

 

Veamos una propiedad. Tomamos cualquier fila:

 

1

6

15

20

15

6

1

 

Sumamos y restamos términos sucesivamente:

 

+ 1

- 6

+ 15

- 20

+ 15

- 6

+ 1

 

Siempre nos dará cero. Esta es una propiedad conocida que posiblemente no impresionó ni siquiera a su descubridor.

 

Pues bien, esta propiedad es sólo el caso particular de una propiedad  mas general que he descubierto y que me ha sorprendido.

 

Si supongo que la propiedad "mas general" ya es conocida y no la expongo, tal vez le esté privando de una pequeña maravilla. Veamos esa propiedad general.

 

Tome la misma fila de antes, recuerde: Fila 6 (el 1 que quedaba solo, arriba, en el vértice, sería la Fila 0)

 

1

6

15

20

15

6

1

 

Tomen una serie aritmética cualquiera:

 

7

10

13

16

19

22

25

 

Eleven cada término a una potencia entera menor que el número de fila, por ejemplo 3

 

343

1000

2197

4096

6859

1064

15625

 

Multipliquen por la fila de Pascal (con signos alternos)

 

+ 343

- 6000

+ 32955

- 81920

+102885

- 63888

+ 15625

 

Sumen y les dará cero para los exponentes: 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Dará cero para cualquier exponente entero mayor o igual que cero y menor que el número de fila.

 

Les confieso que esta propiedad de

 

 

...que es válida para cualquier fila del Triángulo de Pascal, a mí me impresiona.

 

Como podemos apreciar, siendo ésta una propiedad general, el caso particular de exponente cero es el caso particular que conocemos de los libros. Ya tenemos el ejemplo que buscábamos.

 

Es más general aún si observamos que se cumple también para términos de cualquier serie aritmética (creciente o decreciente) sin ceñirse a la de los números enteros o positivos.

 

Es inmediato deducir que podríamos obtener los mismos resultados empleando polinomios (más general aún) de grado inferior al número de fila. Siendo:

 

 

Aplicaríamos:

 

+ 1 · P1

- 6 · P2

+ 15 · P3

- 20 · P4

+ 15 · P5

- 6 · P6

+ 1 · P7

 

Veamos los valores que, con términos de una sucesión aritmética, nos dará la expresión

 

 

...en función del exponente n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Siempre que en mis elucubraciones he pensado haber descubierto algo... o bien ha resultado un estúpido error o bien una odiosa evidencia. Si éste no fuera el caso, si esto fuera algo nuevo y si a mí me correspondieran los honores de dar nombre a la curva del gráfico, la hubiera llamado: "curva de l'Ebre". En cualquier caso, a falta de otro nombre conocido, en este artículo la llamaremos así.

 

Hasta ahora, con "la curva de l'Ebre", sólo hemos realizado cálculos que iban a dar resultado cero. El criterio "signos alternos" para la fila del triángulo de Pascal era suficiente.

 

Entramos ahora en propiedades de "la curva de l'Ebre", en las que el signo va a tener importancia puesto que no vamos a obtener resultados nulos. El convenio de signos es que el 1, de la derecha de la fila, es positivo.

 

Podemos ver que cuando la serie aritmética empleada es la de los números enteros y el exponente es igual al numero de fila, el resultado es el factorial del número de fila. Veámoslo para fila 5 y exponente 5:

 

 

 


 

 


Parece que sea posible decir que:

 

 

...siendo:

 

Lo cual ni es inmediato, ni es evidente... ni claro, ni bonito.

 

A partir de una determinada fila del triángulo de Pascal podemos aplicar "la curva de l'Ebre" y obtener infinitas ecuaciones que contienen los términos An, Bn y Cn del Teorema de Fermat. Incluso podemos modificar el paso de la serie.

 

¿Notan como yo, que esta propiedad general, pasa por un punto en que es bella y que pierde encanto cuanto más queremos precisar? Me da a mi que, salvando las diferencias,  lo de Fermat debe ser parecido.

 

 

 

Cuando empecé a trabajar en el Teorema de Fermat, me ocurrió lo que le debe haber pasado a todo el mundo con este problema. Construyes sofisticadas estructuras matemáticas y progresas hasta que te desaparecen entre las manos... Invariablemente llegas a la conclusión de que las cosas ocurren cuando ocurren. Recordaba a un matemático ruso que decía haber demostrado, que si el Teorema de Fermat se cumplía, era por una realidad que no obedecía a ninguna causa... ¡¡¡ Era indemostrable !!!.

 

Intenté hacer un nudo con el binomio de Newton, con la esperanza de que, conteniendo combinaciones, evitaría su autodestrucción. Todos los nudos resultaron ser falsos nudos.

 

Por fin encontré cómo construir tablas numéricas en las que se podían ver cosas. Era el camino adecuado para encontrar una "notable demostración" que no iba a caber en el "margen" de ningún libro. Eran tablas como ésta que llamaremos Tabla de potencias:

 

 

ax

 

ax5

 

 

 

 

 

 

X

Y = 0

1

2

3

4

5

2,30

-4

64,36343

-53,87767

43,98240

-34,67730

25,93080

-20,16840

1,60

-3

10,48576

-9,89527

9,30510

-8,74650

5,76240

-20,16840

0,90

-2

0,59049

-0,59017

0,55860

-2,98410

-14,40600

-20,16840

0,20

-1

0,00032

-0,03157

-2,42550

-17,39010

-34,57440

-20,16840

-0,50

0

-0,03125

-2,45707

-19,81560

-51,96450

-54,74280

-20,16840

-1,20

1

-2,48832

-22,27267

-71,78010

-106,70730

-74,91120

-20,16840

-1,90

2

-24,76099

-94,05277

-178,48740

-181,61850

-95,07960

-20,16840

-2,60

3

-118,81376

-272,54017

-360,10590

-276,69810

-115,24800

-20,16840

-3,30

4

-391,35393

-632,64607

-636,80400

-391,94610

-135,41640

-20,16840

-4,00

5

-1024,00000

-1269,45007

-1028,75010

-527,36250

-155,58480

-20,16840

-4,70

6

-2293,45007

-2298,20017

-1556,11260

-682,94730

-175,75320

-20,16840

 

Son tablas interesantes. Tenemos los elementos ax de cualquier serie aritmética. La columna Y = 0 se construye con las potencias axn (exponentes enteros, en este caso n = 5). Las columnas siguientes (a la derecha) se calculan con la pauta: A + B = C

 

A

B

C

 

           

Es la misma pauta que encontramos en el triángulo de Pascal, sobre el que nos tomamos la licencia de ampliar con unas cuantas zonas más:

 

 

G =6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

F =-6

462

-252

126

-56

21

-6

1

0

0

-5

210

-126

70

-35

15

-5

1

0

0

-4

84

-56

35

-20

10

-4

1

0

0

-3

28

-21

15

-10

6

-3

1

0

0

-2

7

-6

5

-4

3

-2

1

0

0

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

2

0

0

0

0

1

2

1

0

0

3

0

0

0

1

3

3

1

0

0

4

0

0

1

4

6

4

1

0

0

5

0

1

5

10

10

5

1

0

0

6

1

6

15

20

15

6

1

0

0

 

Tengo entendido que este triángulo ya ha sufrido todo tipo de mutaciones y que por lo visto, cada cual lo toma según le conviene.

 

Nosotros, ya casi no podremos hablar de un triángulo, más bien será un cuadrilátero. Partiendo de la fila 0 con un solo 1 y de la columna 0 en que todo son 1, el crecimiento de la tabla es evidente.

 

Nos permite calcular      sin las limitaciones      de las conocidas combinaciones.

                       

Aplicaremos:

 

- Para  G < 0:         

                                

- Para  F >= G > = 0:

 

                                

 


- Para  0 =< F < G:

                                

 


-          Para  F < 0 ; G >= 0:

                              

              

 

 

Una Tabla de potencias siempre será la suma de varias Tablas de Pascal.

 

En una Tabla de potencias, la columna que corresponde al exponente (en este caso, exponente n = 5, columna Y = 5), estará ocupada por una constante. Las columnas más a la izquierda (Y > 5 ), siguiendo la pauta, estarán ocupadas por ceros.

 

 

Todos los valores que podamos encontrar en cualquier Tabla de potencias, vienen dados por "la curva de l'Ebre".

 

 

Calculemos el valor TP para la fila X = 1; columna Y = 4 y exponente  n =  5:

 

 

También podemos obtener cualquier valor de la Tabla de potencias, en función de los términos conocidos de una fila Xr.

 

En este ejemplo,Para el exponente n = 5, buscamos el valor correspondiente a la fila X = - 4 y la columna Y = 2, o sea TP ( - 4 , 2 , 5 ) = - 570, a partir de los valores de la fila Xr = 6 que conocemos.

 

 

Cambiemos de ejemplo:

 

ax

 

ax5

 

 

 

 

 

 

X

Y = 0

1

2

3

4

5

-4

-4

-1024

781

-570

390

-240

120

-3

-3

-243

211

-180

150

-120

120

-2

-2

-32

31

-30

30

0

120

-1

-1

-1

1

0

30

120

120

0

0

0

1

30

150

240

120

1

1

1

31

180

390

360

120

2

2

32

211

570

750

480

120

3

3

243

781

1320

1230

600

120

4

4

1024

2101

2550

1830

720

120

5

5

3125

4651

4380

2550

840

120

6

6

7776

9031

6930

3390

960

120

 

          Veamos qué encontramos si de la Tabla de potencias, calculamos un término de la columna Y = 0, de una fila cualquiera (en el ejemplo fila X = 11), en función de las distintas filas Xr de la Tabla de potencias. Nos queda:

 

115

=

(-3)5 +

211 ·

14 +

(-180) ·

91 +

150 ·

364 +

(-120) ·

1001 +

120 ·

2002

115

=

(-2)5 +

31 ·

13 +

(-30) ·

78 +

30 ·

286 +

0 ·

715 +

120 ·

1287

115

=

(-1)5 +

1 ·

12 +

0 ·

66 +

30 ·

220 +

120 ·

495 +

120 ·

792

115

=

05 +

1 ·

11 +

30 ·

55 +

150 ·

165 +

240 ·

330 +

120 ·

462

115

=

15 +

31 ·

10 +

180 ·

45 +

390 ·

120 +

360 ·

210 +

120 ·

252

115

=

25 +

211 ·

9 +

570 ·

36 +

750 ·

84 +

480 ·

126 +

120 ·

126

115

=

35 +

781 ·

8 +

1320 ·

28 +

1230 ·

56 +

600 ·

70 +

120 ·

56

115

=

45 +

2101 ·

7 +

2550 ·

21 +

1830 ·

35 +

720 ·

35 +

120 ·

21

115

=

55 +

4651 ·

6 +

4380 ·

15 +

2550 ·

20 +

840 ·

15 +

120 ·

6

115

=

65 +

9031 ·

5 +

6930 ·

10 +

3390 ·

10 +

960 ·

5 +

120 ·

1

115

=

75 +

15961 ·

4 +

10320 ·

6 +

4350 ·

4 +

1080 ·

1 +

120 ·

0

115

=

85 +

26281 ·

3 +

14670 ·

3 +

5430 ·

1 +

1200 ·

0 +

120 ·

0

115

=

95 +

40951 ·

2 +

20100 ·

1 +

6630 ·

0 +

1320 ·

0 +

120 ·

0

115

=

105 +

61051 ·

1 +

26730 ·

0 +

7950 ·

0 +

1440 ·

0 +

120 ·

0

115

=

115 +

87781 ·

0 +

34680 ·

0 +

9390 ·

0 +

1560 ·

0 +

120 ·

0

115

=

125 +

122461 ·

(-1) +

44070 ·

1 +

10950 ·

(-1) +

1680 ·

1 +

120 ·

(-1)

115

=

135 +

166531 ·

(-2) +

55020 ·

3 +

12630 ·

(-4) +

1800 ·

5 +

120 ·

(-6)

 

 

            ¡¡¡ Curioso !!! En todas las filas tenemos dos términos de la fórmula de Fermat. En unas columnas está la pauta del triángulo de Pascal, y en las otras también, sólo que al revés.

 

                                   15 = 5 + 10                                        1230 = 750 + 480

 

 

          Veámoslo de otra manera. Vamos a calcular los distintos términos de la columna Y = 0 de la Tabla de potencias partiendo de los términos conocidos de una sola fila (en el ejemplo fila Xr = 0)

 

 

(-4)5

=

1 ·

(-4) +

30 ·

10 +

150 ·

(-20) +

240 ·

35 +

120 ·

(-56)

(-3)5

=

1 ·

(-3) +

30 ·

6 +

150 ·

(-10) +

240 ·

15 +

120 ·

(-21)

(-2)5

=

1 ·

(-2) +

30 ·

3 +

150 ·

(-4) +

240 ·

5 +

120 ·

(-6)

(-1)5

=

1 ·

(-1) +

30 ·

1 +

150 ·

(-1) +

240 ·

1 +

120 ·

(-1)

0 5

=

1 ·

0 +

30 ·

0 +

150 ·

0 +

240 ·

0 +

120 ·

0

1 5

=

1 ·

1 +

30 ·

0 +

150 ·

0 +

240 ·

0 +

120 ·

0

2 5

=

1 ·

2 +

30 ·

1 +

150 ·

0 +

240 ·

0 +

120 ·

0

3 5

=

1 ·

3 +

30 ·

3 +

150 ·

1 +

240 ·

0 +

120 ·

0

4 5

=

1 ·

4 +

30 ·

6 +

150 ·

4 +

240 ·

1 +

120 ·

0

5 5

=

1 ·

5 +

30 ·

10 +

150 ·

10 +

240 ·

5 +

120 ·

1

6 5

=

1 ·

6 +

30 ·

15 +

150 ·

20 +

240 ·

15 +

120 ·

6

7 5

=

1 ·

7 +

30 ·

21 +

150 ·

35 +

240 ·

35 +

120 ·

21

8 5

=

1 ·

8 +

30 ·

28 +

150 ·

56 +

240 ·

70 +

120 ·

56

9 5

=

1 ·

9 +

30 ·

36 +

150 ·

84 +

240 ·

126 +

120 ·

126

10 5

=

1 ·

10 +

30 ·

45 +

150 ·

120 +

240 ·

210 +

120 ·

252

11 5

=

1 ·

11 +

30 ·

55 +

150 ·

165 +

240 ·

330 +

120 ·

462

12 5

=

1 ·

12 +

30 ·

66 +

150 ·

220 +

240 ·

495 +

120 ·

792

 

Llegados aquí podemos definir una Tabla de exponentes:

 

 

E

Y = 1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

0

0

0

0

0

0

0

2

1

2

0

0

0

0

0

0

3

1

6

6

0

0

0

0

0

4

1

14

36

24

0

0

0

0

5

1

30

150

240

120

0

0

0

6

1

62

540

1560

1800

720

0

0

7

1

126

1806

8400

16800

15120

5040

0

8

1

254

5796

40824

126000

191520

141120

40320

 

 

            En el triángulo de Pascal está demostrado que cuando el número de fila es primo, los elementos de su fila son múltiplos del número de fila (excepto los valores 1... y 0, claro está). Parece que lo mismo ocurre en la Tabla de exponentes... y lo aceptaremos como conjetura más adelante.

 

Calculemos:

 

 

            Podemos plantear la potenciación como

 

 

            Donde, aprovechando que Z3 = - ( -Z )3 , podemos encontrar paisajes como este:

 

 

            Paisaje que no es posible reproducir, para exponentes mayores que 2, con sólo dos sumandos.

¿Por qué?

 

            Realmente no debe ser fácil de explicar.

 

            Lo que hemos conseguido es simplemente relacionar la Potenciación con el Triángulo de Pascal: Una Tabla de potencias es la suma de varias Tablas de Pascal.

 

"Si hay tantas relaciones (en el Triángulo de Pascal) puede que alguien descubra una que resuelva el Teorema de Fermat... y nos quedaremos todos maravillados... y puede que Fermat entre en los institutos"

 

 

            Existe también la Tabla de exponentes simplificada

 

 

E

Y = 1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

0

0

0

0

0

0

0

2

1

1

0

0

0

0

0

0

3

1

3

1

0

0

0

0

0

4

1

7

6

1

0

0

0

0

5

1

15

25

10

1

0

0

0

6

1

31

90

65

15

1

0

0

7

1

63

301

350

140

21

1

0

8

1

127

966

1701

1050

266

28

1

 

... que obedece a una pauta:

 

A

B

 

C=B·Y+A

 

              ...y que nos permite plantear la potenciación como:

 

           

           

Potencias 3D (PowerPoint)

 

            Resolver, no resuelvo, pero ahora, no todos mis planteamientos desaparecen entre los dedos. Alguno queda.

 

            Para un exponente primo, todos (conjetura) los términos de la Tabla de exponentes, son múltiplos del exponente, excepto el de la columna Y = 1 (que es 1). Así pues, siendo P un número primo, y siendo A y E números enteros:

 

           y que si  P > 2         

 

            Esta fórmula tan simple (conjetura para todo P, pero evidente para P = 2) nos permite resolver las Ternas Pitagóricas:

 

 

 

 

            ...siendo k entero. Como

 

 

 

            ...será k positivo, entero mayor que 0.

 

            Elevando al cuadrado...

 

 

 

 

 

            Siendo Z entero:

 

 

 

 

 

            Para soluciones en que B > A

 

 

 

 

 

Veamos: Para   y valores de Z en que resulte entero el cociente:

 

 

            Tome sólo  para reducir a soluciones en que 

 

            Podremos calcular las Ternas Pitagóricas aplicando:

 

                     

 

 

k

Z

A

B

C

1

2

3

4

5

2

4

6

8

10

 

8

5

12

13

3

6

9

12

15

 

9

8

15

17

 

18

7

24

25

4

8

12

16

20

 

16

10

24

26

 

32

9

40

41

5

10

15

20

25

 

25

12

35

37

 

50

11

60

61

                                                        

 

            Puede que los amantes de "las familias" encuentren poco elegante este método de cálculo de las Ternas Pitagóricas, que no se ciñe a obtener exclusivamente las soluciones singulares.

 

            Bien, bueno será hacerles notar que las soluciones que obtenemos para cada valor de k, forman también familias.

 

 

            Dentro de cada familia (las calculadas con un mismo k) se cumple que, para cualquier valor de x:

 

 

            Por ejemplo, la familia de soluciones para k = 3, nos permite afirmar que

 

 

 

 

 

 

            Me despido con algo decepcionante. Hagan crecer las siguientes tres tablas:

 

    

0

 

0

1

5

5

 

0

1

6

6

 

0

1

7

7

1

 

1

6

10

5

 

1

7

12

6

 

1

8

14

7

2

 

7

16

15

5

 

8

19

18

6

 

9

22

21

7

3

 

23

31

20

5

 

27

37

24

6

 

31

43

28

7

4

 

54

51

25

5

 

64

61

30

6

 

74

71

35

7

5

 

105

76

30

5

 

125

91

36

6

 

145

106

42

7

6

 

181

106

35

5

 

216

127

42

6

 

251

148

49

7

7

 

287

141

40

5

 

343

169

48

6

 

399

197

56

7

8

 

428

181

45

5

 

512

217

54

6

 

596

253

63

7

9

 

609

226

50

5

 

729

271

60

6

 

849

316

70

7

10

 

835

276

55

5

 

1.000

331

66

6

 

1.165

386

77

7

11

 

1.111

331

60

5

 

1.331

397

72

6

 

1.551

463

84

7

12

 

1.442

391

65

5

 

1.728

469

78

6

 

2.014

547

91

7

 

 

            La tabla azul:

0

1

5

5

            Es la tabla de

0

1

6

6

            Multiplicada por 5/6

0

5/6

5

5

            Más la tabla de

0

1

0

0

            Multiplicada por 1/6

0

1/6

0

0

           

            O sea, corresponde a

 

 

            La tabla amarilla:

0

1

7

7

            Es la tabla de

0

1

6

6

            Multiplicada por 7/6

0

7/6

7

7

            Más la tabla de

0

1

0

0

            Multiplicada por -1/6

0

-1/6

0

0

           

            O sea, corresponde a

 

 

... las dos tablas muestran soluciones con facilidad. Están en negrita.

 

            La tabla del centro, la tabla verde, semisuma de las anteriores, que corresponde a , no va a tener soluciones...

 

            Si estudiamos soluciones para tablas del tipo

 

0

1

X

X

 

 

... nos encontramos con que tendrá que cumplirse:

 

 

...que sería para los casos X = 5 y X = 7, en los nuestros ejemplos:

 

...pero para X = 6

 

 

¡¡¡ DECEPCIONANTE !!!, otro nudo que se deshace.

 

 

 

 

            La primera vez que recopilé mis notas fue en 1994. La segunda, dándole forma de artículo, en 2000. Esta ocasión es la tercera vez... (cambio de soporte y algunas correcciones).

 

            Gracias a mi artículo, el de 2000, me invitaron en Barcelona a la conferencia que Andrew Wiles dio con motivo del año internacional de las Matemáticas...

 

            Al terminar la conferencia, arropado por unas chicas estudiantes que fueron a solicitar el autógrafo del Sr.Wiles, obtuve yo también mi autógrafo. Con mi escaso inglés, me limité sólo a darle las gracias. Ni siquiera me atreví a darle una copia de mi artículo... (los únicos papeles que llevaba).

 

            Creo que al hombre, le sorprendió el título: Fermat, Pascal y yo.

 

Hoy, su autógrafo es una nota en el margen de mi artículo...

Verdaderamente: faltaba el.

 

 

 

 

Eduard Bagés Guiu

Marzo-2003

 

No se entienda: Fermat, Pascal, Wiles y yo... como un podio... como cuatro grandes... porque entonces, yo no pintaría nada ahí. Entiéndalo como: ¡Vaya lío que me han montado estos tres!

 

Si reconsideramos cual es la situación en este punto, veremos que no estamos al final del camino sino que estamos precisamente en el principio.

 

El ADN de las potencias                 Volver atrás