Función logarítmica



Teoria

Ejercicios propuestos

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Vamos a ver los logarítmos decimales, o de base 10: log10, o simplemente log.

* Logarítmo decimal de un número es el exponente a que se debe elevar 10 para obtener el número.

* Las potencias enteras de 10 tienen por logarítmo un número entero positivo o negativo.

* Los logarítmos de los números mayores que la unidad son positivos; y los logarítmos de los números comprendidos entre 0 y 1, son negativos.

* Cada número real positivo, con excepción de las potencias de 10, tienen por logarítmo un número no entero, que es costumbre escribir en forma decimal con una cierta aproximación.

* La parte entera del logarítmo se llama característica, y la parte decimal, se llama mantisa.

* La característica del logarítmo de un número mayor que 1 es igual a tantas unidades positivas como cifras menos una tiene la parte entera del número.
La característica de log 7258 es 3, porque 103 es menor que 7258 y 104 es mayor que 7258. Por lo tanto: log 7258 = 3'..........
La característica del logarítmo de un número menor que 1 tiene tantas unidades negativas como ceros preceden a la cifra significativa.
la característoca de log 0'000085 es -5, porque 10-5 es menor que 0'000085 y 10-6 es mayor que 0'000085.

* Los números negativos no tienen logarítmo en el campo de los números reales..

log10100 = 2; porque 102 = 100;
log10a = b; porque 10b = a;
log1010 = 1; porque 101 = 10;
log101 = 0; porque 100 = 1;
Te recuerdo que:
* El logarítmo de un producto es igual a la suma de los logarítmos de los factores:
log (a . b) = log a + log b


* El logarítmo de un cociente es igual a la diferencia de los elementos:
log (a / b) = log a - log b


* El logarítmo de una potencia (raíz) es igual al exponente por el logarítmo de la base:
log a2 = 2 log a



...oooOOOooo...

Comiezo













Problemas propuestos

52 5354 5556 5758 5960
6162 6364 6566 6768 6970
7172 7374 7576 7778 7980
8182 8384 8586 8788 8990
9192 9394 9596 9798 99100
101102 103104 105106 107108 109110
111112 113114 115116 117118 119120
121122 123124 125126 127

Comiezo











Solución 52. log x + log 2 = 1 Resolución
Solución 53. log x - log 3 = 1 Resolución
Solución 54. log ( 2x - 3 ) + log ( 5 - x ) = log 5 Resolución
Solución 55. log ( 5 - x ) - log ( 4 - x ) = log 2 Resolución
Solución 56. log ( x2 + 3x + 2) - log ( x2 - 1 ) = log 2 Resolución
Solución 57. log ( x2 + 2x - 39 ) - log ( 3x - 1 ) = 1 Resolución
Solución 58. log (7x - 9 )2 + log ( 3x - 4 )2 = 2 Resolución
Solución 59. log ( x - 2 )2 + log ( x + 1 )2 = 2 Resolución
Solución 60. log x2 - log ( x + 11/10 ) = 1 Resolución
Solución 61. 2 log x - log 4 = log 9 Resolución
Solución 62. 2 log 2x - log x = 1 Resolución
Solución 63. 2 log x + log ( x2 + 15 ) = log 16 Resolución
Solución 64. 2 log x + log ( x2 + 2 ) = log 3 Resolución
Solución 65. 2 log x = log 192 + log 3 - log 4 Resolución
Solución 66. 4 log x - log 100 = 2 Resolución
Solución 67. 5 log x = 3 log x + 2 log 6 Resolución
Solución 68. 3 log x - 2 log ( x / 3 ) = 2 log 3 + log 2 Resolución
Solución 69. 2 log x - log ( 5x ) = log 2 Resolución
Solución 70. 2 log ( 2x )2 - 3 log x = 1 Resolución
Solución 71. 5 log x - log 288 = 3 log (x / 2 ) Resolución
Solución 72. ( log ( 35 - x3)/ log ( 5 - x ) = 3 Resolución
Solución 73. log ( 65 - x3) = 3 log ( 5 - x ) Resolución
Solución 74. 3 log x - log 32 = 2 log ( x / 2 ) Resolución
Solución 75. log x = 2 + ( log 18 + log 8 - 2 log 25 ) / 2 Resolución
Solución 76. log - log = 1 / 2 Resolución
Solución 77. log - log = 1 / 3 Resolución
Solución 78. log - log = 1 / 4 Resolución
Solución 79. log 3x = log b + 2 log x Resolución
Solución 80. log + log = 0'5 + log 3 Resolución
Solución 81. (100log x + 1) / (10log x) = 4 / Resolución
Solución 82. log 8log x - log 2log x =log xx Resolución
Solución 83. Hallar el valor de y cuando en la función y=x ln x hacemos x = 1. Resolución
Solución 84. Siendo log 2 = 0'301030, calcular log 4 Resolución
Solución 85. Conociendo log 2, calcular: 1º) log 0'8; 2º) log Resolución
Solución 86. Conociendo log 2, calcular log Resolución
Solución 87. Conociendo log 2, calcular log 8, log 1'25, log (0'64)3. Resolución
Solución 88. Conociendo log 5 = 0'698970 hallar: log 2, log 2'5, log 625, log 12'5, log 0'032. Resolución
Solución 89. Conociendo log 2 y sabiendo que log 3 = 0'477121, calcular log 10'8, log 56'25. Resolución
Solución 90.Conociendo log 2 y log 3, y sabiendo que log e = 0'434294, calcular el logaritmo neperiano de 648. Resolución
Solución 91 Hallar el logaritmo en base 5 de: 125, 1/25, 0'008 Resolución
Solución 92. Hallar el logaritmo de 256 en el sistema de base 4. Resolución
Solución 93. Hallar la base de los logaritmos para que suceda que log 2 = 2. Resolución
Solución 94. Hallar la característica del logaritmo de 725 en base 6. Resolución
Solución 95. Hallar la característica del logaritmo de 714 en base 5. Resolución
Solución 96. Hallar los logaritmos de 1/n y 1/nm en el sistema de base n. Resolución
Solución 97. Calcular x, sabiendo que el doble de su logaritmo vulgar excede en una unidad al logaritmo de x + 11/10. Resolución
Solución 98. Calcular el valor de a sabiendo que la siguiente ecuación tiene dos raíces, cuyo producto es -15:
log ( x3 - a ) / log ( x - 2 ) - 2 log 5 = log 40
Resolución
Solución 99. Hallar el área de un triángulo cuya base mide 195'73 m. y cuya altura mide 97'138 m. Resolución
Solución 100. Calcular el volumen de un cono cuyo radio mide 17 cms. y cuya altura mide 143 mm. Resolución
Solución 101. Calcular el radio de una esfera cuyo volumen es 375 centésimas de m3. Resolución
Solución 102. Calcular el volumen de una esfera cuyo radio mide 57 milésimas de metro. Resolución
Solución 103. Expresa la superficie de una esfera en función de su volumen y aplicar logaritmos a la fórmula obtenída. Resolución
Solución 104) x + y = 110
log x + log y = 3
Resolución
Solución 105) x + y = 65
log x + log y = 3
Resolución
Solución 106) 3x + 5y = 35
log x + log y = 1
Resolución
Solución 107) x - y = 3
log x + log y = 1
Resolución
Solución 108) x - y = 30
log x + log y = 3
Resolución
Solución 109) x - 14y = 4
log 2x - log 3y = 1
Resolución
Solución 110) x - y = 9
log x - log y = 1
Resolución
Solución 111) 2x - 9y = 1100
log x - log y = 1
Resolución
Solución 112) x + y = 22
log x = 1 + log y
Resolución
Solución 113) log x + 3 log y = 5
2 log x - log y = 3
Resolución
Solución 114) log x + 3 log y = 6
2 log x - 5 log y = 1
Resolución
Solución 115) x4 + y4 = 626
log x + log y + log 2 = 1
Resolución
Solución 116) log x + log y = 1 + log 7
log x - log y = log 56 - log 20
Resolución
Solución 117) x - 3y2 = 5
log x + log y2 = 2
Resolución
Solución 118) x2 - y2 = 10.000
(x-y) log (x+y) = 3
Resolución
Solución 119) log x2 + log y2 = 2
x2 - y2 = 15
Resolución
Solución 120) x = 8 + y
log2 x = 7 - log 2 y
Resolución
Solución 121) x log 125 - y log 25 + 2 log 5 = 0
x log 4 - 2y log 8 - log 8 = 0
Resolución
Solución 122) 5x + y = 511
log ( x + y ) + log ( x - y ) = log 33
Resolución
Solución 123) ax - y = a4
log ( x + y ) + log ( x - y ) = log 40
Resolución
Solución 124) logx ( y - 72 ) = 2
log y ( x + 6 ) = 0'5
Resolución
Solución 125) x - 2y - 3z = 40
log x + log y - log z = 2
log x - log y = 1
Resolución
Solución 126) 2x - y - 4 = 0
3x + y - log z = 4
y - 1 + log z2 = 0
Resolución
Solución 127) Formar la ecuación de segundo grado cuyas raices son las soluciones del sistema:
log x 25 = log y 4
x.y = 10.000
Resolución

Comiezo











52. log x + log 2 = 1
log 2x = log 10

2x = 10;

x = 5

Volver














53. log x - log 3 = 1
log x / 3 = log 10

x / 3 = 10;

x = 30

Volver














54. log ( 2x - 3 ) + log ( 5 - x ) = log 5
log ( ( 2x - 3 ) . ( 5 - x ) ) = log 5

( 2x - 3 ) . ( 5 - x ) = 5;

10x - 2x2- 15 + 3x = 5;

2x2 - 13x + 20 = 0;

x = 4; x = 5/2

Volver














55. log ( 5 - x ) - log ( 4 - x ) = log 2
log ( ( 5 - x ) / ( 4 - x ) ) = log 2

5 - x = 8 - 2x;

x = 3

Volver














56. log ( x2 + 3x + 2) - log ( x2 - 1 ) = log 2
( x2 + 3x + 2) / ( x2- 1 ) ) = 2

x2 + 3x + 2 = 2 x2- 2;

x2 - 3x - 4 = 0;

x = 4

Volver














57. log ( x2 + 2x - 39 ) - log ( 3x - 1 ) = 1
( x2 + 2x - 39) / ( 3x - 1 ) ) = 10

x2 + 2x - 39 = 30x - 10;

x2 - 28x - 29 = 0;

x = 29

Volver














58. log (7x - 9 )2 + log (3x - 4 )2 = 2
( (7x - 9 )2. (3x - 4 )2) ) = 102

(7x - 9) . (3x - 4) = 10; 21x2 - 28x - 27x + 36 = 10
(7x - 9) . (3x - 4) = - 10; 21x2 - 28x - 27x + 36 = - 10

21x2 - 55x + 26 = 0
21x2 - 55x + 46 = 0; imaginaria

x = 2; x = 13/21

Volver














59. log ( x - 2 )2 + log ( x + 1 )2 = 2
( (x - 2 )2. (x + 1 )2) ) = 102

(x - 2) . (x + 1) = 10; x2 - 2x + x - 2 = 10;
(x - 2) . (x + 1) = - 10; x2 - 2x + x - 2 = - 10;

x2 - x - 12 = 0
x2 - x + 8 = 0; imaginaria

x = 4; x = - 3

Volver














60. log x2 - log ( x + 11/10 ) = 1
x2 / (x + 11 / 10 ) = 10

x2 = 10x + 11;

x2 - 10x - 11 = 0;

x = 11; x = - 1

Volver














61. 2 log x - log 4 = log 9
x2 / 4 = 9

x2 = 36;

x = 6; x = - 6

Volver














62. 2 log 2x - log x = 1
4x2 / x = 10

4x2 = 10x;

4x = 10

x = 5 / 2

Volver














63. 2 log x + log ( x2 + 15 ) = log 16
x2 . ( x2 + 15 ) = 16

x4 + 15x2 - 16 = 0

x = 1

Volver














64. 2 log x + log ( x2 + 2 ) = log 3
x2 . ( x2 + 2 ) = 3

x4 + 2x2 - 3 = 0

x = 1

Volver














65. 2 log x = log 192 + log 3 - log 4
x2 = 192 . 3 / 4

x2 = 144

x = 12

Volver














66. 4 log x - log 100 = 2
x4 / 100 = 100

x4 = 10000

x = 10

Volver














67. 5 log x = 3 log x + 2 log 6
x5 = 36x3

x2 = 36

x = 6

Volver














68. 3 log x - 2 log ( x / 3 ) = 2 log 3 + log 2
x3 / (x / 3)2 = 9 . 2

x3 =18x2/ 9

9x3 =18x2

x = 2

Volver














69. 2 log x - log ( 5x ) = log 2
x2 / 5x = 2

x2 =10x

x = 10

Volver














70. 2 log ( 2x )2 - 3 log x = 1
(2x)4 / x 3= 10

16x4=10x3;

x =10 /16

x = 5 / 8

Volver














71. 5 log x - log 288 = 3 log (x / 2 )
x5 / 288 = (x / 2)3

x5= 288x3/ 8;

x2 = 36

x = 6

Volver














72. ( log ( 35 - x3)/ log ( 5 - x ) = 3
log ( 35 - x3) = 3 log ( 5 - x )

log ( 35 - x3) = log ( 5 - x )3

35 - x3= ( 5 - x )3

35 - x3= 125 - x3 - 75x + 15x2

15x2 - 75x + 90 = 0;

x2 - 5x + 6 = 0

x = 3; x = 2

Volver














73. log ( 65 - x3) = 3 log ( 5 - x )
log 65 - x3 = log ( 5 - x )3

65 - x3 = ( 5 - x )3

65 - x3= 125 - x3 - 75x + 15x2

15x2 - 75x + 60 = 0;

x2 - 5x + 4 = 0

x = 1; x = 4

Volver














74. 3 log x - log 32 = 2 log ( x / 2 )
x3/ 32 = ( x / 2 )2

8x3 = 32x2;

x = 4

Volver














75. log x = 2 + ( log 18 + log 8 - 2 log 25 ) / 2
2 log x = 4 +log ( 18 . 8 / 625 )

2 log x = log 10000 +log ( 18 . 8 / 625 )

x2 = 1440000 / 625;

x = 1200 / 25

x = 48

Volver














76. log - log = 1 / 2
/ = 101/2

x / 2 = ()2

x / 2 = 10;

x = 20

Volver














77. log - log = 1 / 3
/ = 101/3

x / 4 = ()3

x / 4 = 10;

x = 40

Volver














78. log - log = 1 / 4
log - log = 101/4

x 3/ 100 = ()4

x 3/ 100 = 10;

x = 10

Volver














79. log 3x = log b + 2 log x
log 3x = log bx2

3x = bx2

bx = 3;

x = b / 3

Volver














80. log + log = 0'5 + log 3
log . = 1 / 2 + log 3

log . = log 3

. = 3

(7x + 3) . (4x + 5) = 9 . 10

28x2 + 35x + 12x + 15 = 90;

28x2 + 47x - 75 = 0;

x = 1

Volver














81. (100log x + 1) / (10log x) = 4 /
10log x = m;

(m2 + 1)/ m= 4 /

(m2 + 1) = 4m

m2- 4m + = 0

m = ; m = / 3;

10log x = m; aplicando logarítmos: log x . log 10 = log m; x = m;

x = ; x = / 3

Volver














82. log 8log x - log 2log x =log xx
log 23log x - log 2log x = log xx

log 23log x/ 2log x = log xx

22log x = xx;

aplicando logarítmos: 2 log x . log 2 = x log x;

tambien log x = 0;

x = 2 log 2; x = 1

Volver














83. Hallar el valor de y cuando en la función y=x ln x hacemos x = 1.
y=x ln x;

x = 1; y = ln 1;

y = logex;

ey= 1;

ey= e0

y = 0

Volver














84. Siendo log 2 = 0'301030, calcular log 4
log 4 = log 22= 2 log 2;

log 4 = 0'602060

Volver














85. Conociendo log 2, calcular: 1º) log 0'8; 2º) log .
log 0'8 = log 8 / 10 = log 23- log 10 = 3 log 2 - 1;

log = log 781'251 / 2= log (78125 / 100)1 / 2=

= (1 / 2 ) log 57 - log 100 = (1 / 2 ) log (10 / 2)7 - log 100 =

= (1 / 2 ) log (107 / 27) - log 102 = (1 / 2) . (7 log 10 - 7 log 2 - 2 log 10) =

(1 / 2) (7 - 7 . 0'301030 - 2) = (5 - 2'107210) / 2 = 2'892790 / 2

log 8 = - 0'096910; log = 1'446395

Volver














86. Conociendo log 2, calcular log
log = log 781'251 / 4= log (78125 / 100)1 / 4=

= (1 / 4 ) log 57 - log 100 = (1 / 4 ) log (10 / 2)7 - log 100 =

= (1 / 4 ) log (107 / 27) - log 102 = (1 / 4) . (7 log 10 - 7 log 2 - 2 log 10) =

(1 / 4) (7 - 7 . 0'301030 - 2) = (5 - 2'107210) / 4 = 2'892790 / 4

log = 0'723197

Volver














87. Conociendo log 2, calcular log 8, log 1'25, log (0'64)3.
log 8 = log 23= 3 log 2 = 3 . 0'301030

log 1'25 = log (125 / 100) = log 53 - log 102=

3 log 5 - 2 log 10 = 3 log (10 / 2) - 2 = 3 log 10 - 3 log 2 - 2 =

= 1 - 3 log 2 = 1 - 3 . 0'301030 = 1 - 0'903090

log (0'64)3= log (64 / 100)3= log (26/ 102)3 = 3 (6 log 2 - 2 log 10) = 3 (6 . 0'301030 - 2) = 3 ( 1'806180 - 2) = 3 . (- 0'193820)

log 8= 0'903090; log 1'25 = 0'096910; log (0'64)3= - 0'581460

Volver














88. Conociendo log 5 = 0'698970 hallar: log 2, log 2'5, log 625, log 12'5, log 0'032.
log 2 = log (10 / 5 ) = log 10 - log 5 = 1 - 0'698970

log 2'5 = log 25 / 10 = log 52/ 10 = 2 log 5 - log 10 = 1'397940 - 1

log 625 = log 54 = 4 log 5 = 4 . 0'698970

log 12'5 = log 125 / 10 = log 53/ 10 = 3 log 5 - 1 = 2'096910 - 1

log 0'032 = log 32 / 1000 = log 25 - log 1000 = log (10 / 5)5- 3 = 5 log 10 - 5 log 5 - 3 = 5 - 5 log 5 - 3 = 2 - 5 log 5 = 2 - 3'494850

log 2= 0'301030; log 2'5 = 0'397940; log 625 = 2'795880; log 12'5 = 1'096910; log 0'032 = - 1'49485

Volver














89. Conociendo log 2 y sabiendo que log 3 = 0'477121, calcular log 10'8, log 56'25.
log 10'8 = log (108 / 10 ) = log (22. 33/ 10 ) =

= 2 log 2 + 3 log 3 - log 10 = 0'602060 + 1'431363 - 1

log 56'25 = log 5625 / 100 = log 54. 32/ 102= log 104. 32 / 24. 102 =

= 2 log 10 + 2 log 3 - 4 log 2 = 2 + 0'954242 - 1'204120

log 10'8 = 1'033423; log 56'25 = 1'750122

Volver














90.Conociendo log 2 y log 3, y sabiendo que log e = 0'434294, calcular el logaritmo neperiano de 648.
ln 648 = log e648 = m;

em= 648; aplicando logaritmos:

m log e = log 648; m = log 648 / log e;

m = log (23. 34) / log e

m = (3 log 2 + 4 log 3 ) / log e

ln 648 = 6'4738955

Volver














91 Hallar el logaritmo en base 5 de: 125, 1/25, 0'008
log 5125 = m; 5m= 53

log 51/25 = m; 5m = 5- 2

log 50'008 = m; 5m = 8/1000 = 1 / 125 = 5- 3

log 5125 = 3;log 51/25 = -2; log 50'008 = -3

Volver














92. Hallar el logaritmo de 256 en el sistema de base 4.
log 4256 = m; 4m= 44

log 4256 = 4

Volver














93. Hallar la base de los logaritmos para que suceda que log 2 = 2.
log m2 = 2; m2= 2;


Volver














94. Hallar la característica del logaritmo de 725 en base 6.
log 6725 = m; 6m= 725;

61= 6;
62= 36;
63= 216;
64= 1296.

3 es la característica
Volver














95. Hallar la característica del logaritmo de 714 en base 5.
log 5714 = m; 5m= 714;

51= 5;
52= 25;
53= 125;
54= 625.
55= 3125.

4 es la característica
Volver














96. Hallar los logaritmos de 1/n y 1/nm en el sistema de base n.
log n1/n = x; nx= 1/n; nx= n-1

log n1/nm = x; nx= 1/nm; nx= n- m;

log n1/n = - 1; log n1/nm = - m
Volver














97. Calcular x, sabiendo que el doble de su logaritmo vulgar excede en una unidad al logaritmo de x + 11/10.
2 log x - 1 = log (x + 11/10);

2 log x - log 10 = log (x + 11/10);

log (x2/ 10) = log (x + 11/ 10);

x2/ 10 = x + 11/ 10;

x2 - 10x - 11 = 0;

x = 11
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98. Calcular el valor de a sabiendo que la siguiente ecuación tiene dos raíces, cuyo producto es -15:
log ( x3 - a ) / log ( x - 2 ) - 2 log 5 = log 40
log ( x3 - a ) / log ( x - 2 ) = 2 log 5 + log 40;

log ( x3 - a ) / log ( x - 2 ) = log 25 + log 40;

log ( x3 - a ) / log ( x - 2 ) = log (25 . 40);

log( x3 - a ) / log ( x - 2 ) = log 1000;

log( x3 - a ) = 3 log ( x - 2 );

log( x3 - a ) = log ( x - 2 )3;

x3 - a = ( x - 2 )3

x3 - a = x3 - 8 - 6x2+ 12x;

6x2+ 12x +a - 8 = 0;

Como que el producto de las raices es 15 y es lo mismo que - c / a, resulta:

(8 - a) / 6 = - 15; 8 - a = - 90;

a = 98
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99. Hallar el área de un triángulo cuya base mide 195'73 m. y cuya altura mide 97'138 m.
S = b . a / 2; log S = log ( b . a / 2);
log S = log b + log a - log 2;

log S = log 195'73 + log 97'138 - log 2;

y consultando tablas o calculadora:

log S = 2'29 + 1'98 - 0'301030;

log S = 3'978;

S = 9.506'4
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100. Calcular el volumen de un cono cuyo radio mide 17 cms. y cuya altura mide 143 mm.
V = Sb . a / 3; V = pi . r2. a / 3; log V = log (pi . r2. a / 3);
log V = log pi + 2 log r + log a - log 3;

y consultando tablas o calculadora:

log V = 0'497149 + 2'46 + 2'155 - 0'477121;

log V = 3'63626262498;

V = 4327'753318
Volver














101. Calcular el radio de una esfera cuyo volumen es 375 centésimas de metro m3.
V =4 pi . r3 / 3; log V = log (4 . pi . r3/ 3);
log V = log pi + 3 log r + log 4 - log 3;

log r3 = log V - log pi - log 4 + log 3;

y consultando tablas o calculadora:

log r3 = 0'65064;

log V = 3'63626262498;

r = 0'963
Volver














102. Calcular el volumen de una esfera cuyo radio mide 57 milésimas de m.
V =4 pi . r3 / 3; log V = log (4 . pi . r3/ 3);
log V = log pi + 3 log r + log 4 - log 3;

y consultando tablas o calculadora:

V = 0'775
Volver














103. Expresa la superficie de una esfera en función de su volumen y aplicar logaritmos a la fórmula obtenída.
V =4 pi . r3 / 3;
r = raíz cúbica ( 3V / 4 pi);

S = 4 pi. r2;

S = 4 pi raíz cúbica ( 3V / 4 pi)2;

S = raíz cúbica ( 64 pi3 9 . r2/ 16 pi2;

S = raíz cúbica ( 36 pi V2);

S = raíz cúbica ( 36 pi V2)
Volver














104)
x + y = 110
log x + log y = 3
x + y = 110;
log (x . y ) = log 1000;

x + y = 110;
x . y = 1000;

Aprovechando la fórmula de x2 - Sx + P = 0;

x2 - 110x + 1000 = 0;

x = 10; y = 100

Volver














105)
x + y = 65
log x + log y = 3
x + y = 65;
log (x . y ) = log 1000;

x + y = 65;
x . y = 1000;

Aprovechando la fórmula de x2 - Sx + P = 0;

x2 - 65x + 1000 = 0;

x = 40; y = 25

Volver














106)
3x + 5y = 35
log x + log y = 1
3x + 5y = 35;
log (x . y ) = log 10;

3x + 5y = 35;
x . y = 10;

x = 10 / y; 30 / y + 5y = 35; 5y2- 35 y + 30 = 0

y2 - 7y + 6 = 0;

x = 5 / 3; y = 6;; x = 10 ; y = 1

Volver














107)
x - y = 3
log x + log y = 1
x - y = 3;
log (x . y ) = log 10;

x - y = 3;
x . y = 10;

x = 3 + y; (3 + y).y = 10; y2 + 3y - 10 = 0

x = 5 ; y = 2

Volver














108)
x - y = 30
log x + log y = 3
x - y = 30;
log (x . y ) = log 1000;

x - y = 30;
x . y = 1000;

x = 30 + y; (30 + y).y = 1000; y2 + 30y - 1000 = 0

x = 50 ; y = 20

Volver














109)
x - 14y = 4
log 2x - log 3y = 1
x - 14y = 4;
log (2x / 3y ) = log 10;

x - 14y = 4;
2x / 3y = 10;

x = 4 + 14y; 2 . (4 + 14y) = 30y; 8 + 28 y = 30 y; 2 y = 8;

x = 60 ; y = 4

Volver














110)
x - y = 9
log x - log y = 1
x - y = 9;
log (x / y ) = log 10;

x - y = 9;
x / y = 10;

x = 9 + y; 9 + y = 10y; 9 = 9 y;

x = 10 ; y = 1

Volver














.
111)
2x - 9y = 1100
log x - log y = 1
2x -9 y = 1100;
log (x / y ) = log 10;

2x - 9y = 1100;
x / y = 10;

2x - 9y = 1100; x = 10y; 20y - 9 y = 1100; 11y = 1100;

x = 1000 ; y = 100

Volver














.
112)
x + y = 22
log x = 1 + log y
x + y = 22
log x = log 10 + log y

x + y = 22;
x = 10y;

10y + y = 22; 11 y = 22

x = 20 ; y = 2

Volver














.
113)
log x + 3 log y = 5
2 log x - log y = 3
log (x . y3) = log 100000; log (x2/ y) = log 1000;

x . y3= 100000; x2= 1000y;

y = x2/ 1000; x . (x2/ 1000)3 = 105

x . x6= 109. 105

x 7= 10 14

x = 100 ; y = 10

Volver














.
114)
log x + 3 log y = 6
2 log x - 5 log y = 1
log (x . y3) = log 1000000; log (x2/ y5) = log 10;

x . y3= 1000000; x2= 10y5;

x = 106/ y3; (106/ y3)2 = 10 y5;

1012= 10 y5. 10 y6

1012= 10 y11

10 . 1011= 10 y11

1011= y11

x = 1000 ; y = 11

Volver














.
115)
x4 + y4 = 626
log x + log y + log 2 = 1
x4 + y4 = 626
log 2xy = log 10;

x4 + y4 = 626
2xy = 10;

x4 + y4 = 626
xy = 5;

y = 5 /x; x4 + (5 / x)4 = 626

x8 + 625 = 626 x4

x4= m; m2- 626 m + 625 = 0; m = 1; m = 625

x = 1 ; y = 5

Volver














.
116)
log x + log y = 1 + log 7
log x - log y = log 56 - log 20
log (x . y = log (10 . 7)
log (x / y) = log (56 / 20);

x . y = 70
x / y = 56 / 20; x / y = 14 / 5

x = 14 y / 5;; 14 y . y / 5 = 70; 14 y2 = 350; y2= 25

x = 14 ; y = 5

Volver














.
117)
x - 3y2 = 5
log x + log y2 = 2
x - 3y2 = 5
log (x . y2) = log 100;

x - 3y2 = 5
xy2 = 100;

x = 3y2 + 5

(3y2 + 5) . y2 = 100

3y4 + 5y2 - 100 = 0;

y2= m; 3m2+ 5m - 100 = 0; m = 5;

x = 20 ; y =

Volver














.
118)
x2 - y2 = 10.000
(x-y) log (x+y) = 3
x2 - y2 = 10.000
log (x+y)(x - y) = log 1000

x2 - y2 = 10.000
(x+y)(x - y) = 1000

x + y = a; x - y = b;

a . b = 104
ab= 103;

a = 104/ b;
(104/ b)b= 103
104b= 103. bb;10b= bb;
b = 10; a = 1000;

x + y = a; x - y = b;

x + y = 1000; x - y = 10; 2x = 1100

x = 505 ; y = 495

Volver














.
119)
log x2 + log y2 = 2
x2 - y2 = 15
log (x2 . y2) = log 100
x2 - y2 = 15

x2. y2 = 100
x2 - y2 = 15

x . y = 10;
x2 - y2 = 15;

x = 10 / y;
(10 / y)2 - y2 = 15
100 - y4 = 15y2;
y4- 15y2- 100 = 0;

y2= m; m2- 15m - 100 = 0;
m = 5; y2= 5

x = 2 ; y =

Volver














120)
x = 8 + y
log2 x = 7 - log 2 y
log2 x = a; log2 y = b;

2a= x; a log 2 = log x; a = log x / log 2;
2b= y; b log 2 = log y; b = log y / log 2;

log x / log 2 = 7 - log y / log 2;
log x = 7 log 2 - log y;
x = 27/ y;

x = 8 + y; 27/ y = 8 + y; 128 = 8y + y2

y2 + 8y - 128 = 0

x = 16, y = 8

Volver














121)
x log 125 - y log 25 + 2 log 5 = 0
x log 4 - 2y log 8 - log 8 = 0
log (53x. 52/ 52y) = log 1;
log (22x/ 26y. 23) = log 1;
3x + 2 = 2y;
2x = 3 + 6y

2x = 3 + 3(3x + 2); 2x = 3 + 9x + 6; 7x = - 9;

x = - 9 / 7, y = - 13 / 14

Volver














122)
5x + y = 511
log ( x + y ) + log ( x - y ) = log 33
5x + y = 511
log ( ( x + y ) ( x - y ) ) = log 33

x + y = 11;
( x + y ) ( x - y ) = 33

11 (x - y) = 33; x - y = 3;

x = 7, y = 4

Volver














123)
ax - y = a4
log ( x + y ) + log ( x - y ) = log 40
ax - y = a4
log (( x + y ) ( x - y ) ) = log 40

x - y = 4;
( x + y ) ( x - y ) = 40

4 (x + y) = 40; x + y = 10;

x = 7, y = 3

Volver














124)
logx ( y - 72 ) = 2
log y ( x + 6 ) = 0'5
x2 = y - 72
y1 / 2 = x + 6

y = (x + 6)2;x2 = (x + 6)2 - 72

x2 = x2 + 36 + 12x - 72;

12x = 36

x = 3, y = 81

Volver














125)
x - 2y - 3z = 40
log x + log y - log z = 2
log x - log y = 1
x - 2y - 3z = 40
log x . y / z = log 100
log x / y = log 10

x - 2y - 3z = 40
x . y / z = 100
x / y = 10

x = 10y; 10y - 2y - 3z = 40;
10y2= 100z

8y - 3z = 40;
y2= 10z;

z = (8y - 40) / 3; y2= 10 (8y - 40) / 3;

3y2= 80y - 400; 3y2- 80y + 400 = 0

; x = 200, y = 20; z = 40;; x = 200/3; y = 20/3; z = 40/3

Volver














126)
2x - y - 4 = 0
3x + y - log z = 4
y - 1 + log z2 = 0
2x - 4 = y
log z = 3x + y - 4
log z2 = 1 - y;

log z = 3x + 2x - 4 - 4
log z2 = 1 - 2x + 4;

log z = 5x - 8
log z2 = 5 - 2x;

2 log z = 5 - 2x;
2 ( 5x - 8) = 5 - 2x; 10x - 16 = 5 - 2x; 12 x = 21;

; x = 7/4, y = - 1/2; z = 103/4

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127)
Formar la ecuación de segundo grado cuyas raices son las soluciones del sistema:
log x 25 = log y 4
x.y = 10.000
log x 25 = a
log y 4 = b
a = b

x a= 52
yb= 22
x.y = 10.000; xy = 104;xy = (5.2)4

x = 54; y = 24; x = 625; y = 16

x 2- 641x + 10.000 = 0

Volver















Comiezo